🎯 Секреты олимпиадной математики
База знаний мощных олимпиадных методов, лайфхаков и теории. Выбирай тему и прокачивай свои навыки!
Алгебра
C10. Математическая индукция
# C10. Математическая индукция **Уровень:** база. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов, Физтех. **Источник:** вто...
C11. Тождества Софи Жермен и продвинутая факторизация
# C11. Тождества Софи Жермен и продвинутая факторизация **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Курчатов, Тур...
C12. Симметрические многочлены и переход к s,p
# C12. Симметрические многочлены и переход к s,p **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источни...
C1. ФСУ и алгебраические тождества
# C1. ФСУ и алгебраические тождества **Уровень:** база. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов, Физтех. **Источн...
C2. Дискриминант и квадратные уравнения
# C2. Дискриминант и квадратные уравнения **Уровень:** база. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источник:** вт...
C3. Общий корень многочленов
# C3. Общий корень многочленов **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, база 102 ...
C4. Подстановки и замены переменной
# C4. Подстановки и замены переменной **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второй файл...
C5a. Теорема Виета
# C5a. Теорема Виета **Уровень:** база. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источник:** второй файл, база 102 мето...
C5b. Деление многочленов, остатки
# C5b. Деление многочленов, остатки **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, база...
C5. Многочлены (общее)
# C5. Многочлены (общее) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Физтех. **Источник:** второй файл, база 10...
C6. Многочлены с целыми коэф., теорема о корнях
# C6. Многочлены с целыми коэф., теорема о корнях **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** ...
C7. Функциональные уравнения
# C7. Функциональные уравнения **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** второй ...
C8. Целая и дробная часть
# C8. Целая и дробная часть **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Высшая проба. **Источник:** второй файл, база 102...
C9. Рекуррентные последовательности
# C9. Рекуррентные последовательности **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Курчатов. **Источник:** второй файл, баз...
Арифметическая и геометрическая прогрессии
# Арифметическая и геометрическая прогрессии — ключ к закономерностям ## 1. Введение Прогрессии — это последовательности чисел, построенные по прост...
Квадратные уравнения и параметры
# Квадратные уравнения и параметры — просто о сложном ## 1. Введение Квадратные уравнения с параметрами — это классика олимпиадной алгебры. Суть про...
Комплексные числа: основы и приложения
# Комплексные числа: основы и приложения — алгебраический инструмент, расширяющий горизонты ## 1. Введение Комплексные числа — одно из самых элегант...
Логарифмы и показательные неравенства
# Логарифмы и показательные неравенства — ключ к точным оценкам ## 1. Введение Логарифмические и показательные неравенства — один из важнейших инстр...
Метод замены переменных
# Искусство замены переменных для упрощения алгебраических уравнений и неравенств ## 1. Введение Замена переменных — это мощный и элегантный метод р...
Метод замены переменных в неравенствах
# Метод замены переменных в неравенствах — превращаем сложное в простое ## 1. Введение Метод замены переменных — один из мощнейших инструментов в ар...
Метод мажорант
# Метод мажорант (оценок) для доказательства неравенств и нахождения экстремумов ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Метод мажорант, ...
Метод мажорант в неравенствах
# Метод мажорант в неравенствах — когда обе части «зажаты» одной точкой ## 1. Введение Метод мажорант — один из самых красивых и эффективных приёмов...
Метод математической индукции
# Метод математической индукции — домино, которое доказывает бесконечность ## 1. Введение Метод математической индукции — это мощный способ доказыва...
Метод неопределённых коэффициентов
# Метод неопределённых коэффициентов — искусство угадывания с гарантией ## 1. Введение Метод неопределённых коэффициентов — это мощный алгебраически...
Многочлены: деление и корни
# Многочлены: деление и корни — связь, открывающая новые возможности ## 1. Введение В олимпиадной алгебре многочлены — один из ключевых объектов. Ча...
Модуль числа и неравенства с модулем
# Модуль числа и неравенства с модулем — ключ к пониманию расстояний на прямой ## 1. Введение **Модуль числа** — одна из фундаментальных концепций а...
Неравенство Йенсена для выпуклых функций
# Неравенство Йенсена для выпуклых функций — мощный ключ к оценкам сумм ## 1. Введение Неравенство Йенсена — это, пожалуй, самый универсальный инстр...
Неравенство Коши
# Неравенство Коши о средних (AM-GM) и его применение в олимпиадных задачах ## 1. Введение Неравенство Коши о средних, также известное как **неравен...
Неравенство Коши-Буняковского
# Неравенство Коши-Буняковского — ключ к оценкам сумм произведений ## 1. Введение Неравенство Коши-Буняковского — один из самых мощных инструментов ...
Неравенство между средними арифметическим и геометрическим
# Неравенство между средними арифметическим и геометрическим — мощный инструмент для оценок и оптимизации ## 1. Введение Неравенство между средним а...
Преобразование выражений и тождества
# Преобразование выражений и тождества — искусство видеть невидимое ## 1. Введение **Преобразование выражений** — это основа алгебры, позволяющая уп...
Симметрические многочлены и формулы Ньютона
# Симметрические многочлены и формулы Ньютона — ключ к решению сложных систем и уравнений ## 1. Введение **Симметрические многочлены** — это многочл...
Системы линейных уравнений и метод Гаусса
# Системы линейных уравнений и метод Гаусса — универсальный ключ к решению ## 1. Введение **Метод Гаусса** (или метод последовательного исключения н...
Теорема Виета
# Теорема Виета и её применение для решения систем и задач с параметрами ## 1. Введение Теорема Виета — это мощный инструмент, связывающий коэффицие...
Теорема Виета для многочленов высших степеней
# Теорема Виета для многочленов высших степеней — универсальный ключ к симметричным системам ## 1. Введение **Теорема Виета** — это не просто способ...
Усиление индукции в задачах
# Усиление индукции в задачах — когда слабая гипотеза не работает ## 1. Введение Метод математической индукции — один из самых мощных инструментов в...
Арифметика
A1. Прямые вычисления и арифметика
# A1. Прямые вычисления и арифметика **Уровень:** база. **Классы:** 5, 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** втор...
A2a. Движение
# A2a. Движение **Уровень:** база. **Классы:** 5, 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источник:** второй файл, база 102 метод...
A2b. Работа и производительность
# A2b. Работа и производительность **Уровень:** база. **Классы:** 5, 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второй файл, баз...
A2c. Проценты, концентрации, сплавы
# A2c. Проценты, концентрации, сплавы **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9, 10. **Где тренировать:** ВсОШ, Высшая проба, Ломоносов. **Источник:*...
A2. Текстовые задачи (общее)
# A2. Текстовые задачи (общее) **Уровень:** база. **Классы:** 5, 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второй файл, база 10...
Геометрия
F10. Тригонометрия в треугольнике
# F10. Тригонометрия в треугольнике **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Ломоносов. **Источник:** второй файл, б...
F11. Разрезания и замощения
# F11. Разрезания и замощения **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Турнир городов. **Источник:** второй файл...
F12. Стереометрия (общее)
# F12. Стереометрия (общее) **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй файл, база 102 ...
F13. Инцентр, биссектрисы, равные касательные
# F13. Инцентр, биссектрисы, равные касательные **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Курчатов. **Источник:...
F14. Геометрическое место точек (ГМТ)
# F14. Геометрическое место точек (ГМТ) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, ...
F15. Инверсия
# F15. Инверсия **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов, междунар.. **Источник:** второй файл...
F16. Метод площадей (отношения через площади)
# F16. Метод площадей (отношения через площади) **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Ист...
F17. Барицентрические координаты
# F17. Барицентрические координаты **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба, Турнир городов. **Источни...
F1. Треугольники: равенство, подобие, медианы
# F1. Треугольники: равенство, подобие, медианы **Уровень:** база. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источ...
F2. Окружности: вписанные углы, степень точки
# F2. Окружности: вписанные углы, степень точки **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов, Физте...
F3. Вписанные/описанные 4-угольники
# F3. Вписанные/описанные 4-угольники **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** втор...
F4a. Симметрия, поворот, перенос
# F4a. Симметрия, поворот, перенос **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Турнир городов. **Источник:** вт...
F4b. Касательные к окружности
# F4b. Касательные к окружности **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Курчатов. **Источник:** второй файл, ...
F4. Дополнительное построение (общее)
# F4. Дополнительное построение (общее) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, ...
F5. Гомотетия и спиральное подобие
# F5. Гомотетия и спиральное подобие **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** второй файл, ...
F6. Площади: двойной подсчёт, средние линии
# F6. Площади: двойной подсчёт, средние линии **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** вто...
F7. Векторы и скалярное произведение
# F7. Векторы и скалярное произведение **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй ф...
F8. Комбинаторная геометрия
# F8. Комбинаторная геометрия **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** второй фа...
F9a. Координаты на плоскости
# F9a. Координаты на плоскости **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Ломоносов, Высшая проба. **Источник:** второ...
F9b. Векторы для геометрических задач
# F9b. Векторы для геометрических задач **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй фай...
F9. Координатный метод (общее)
# F9. Координатный метод (общее) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Ломоносов. **Источник:** второй файл, база...
Аксиоматика Евклида и неевклидовы геометрии
# Аксиоматика Евклида и неевклидовы геометрии — как переосмысление пятого постулата породило новые миры ## 1. Введение Большинство из нас привыкло к...
Векторы и их применение в задачах
# Векторы и их применение в задачах — мощный инструмент геометрических преобразований ## 1. Введение Векторный метод — один из самых универсальных и...
Вписанные и описанные окружности
# Вписанные и описанные окружности — два ключа к одной тайне ## 1. Введение Представь, что у тебя есть треугольник, и ты хочешь «обнять» его окружно...
Геометрические неравенства
# Геометрические неравенства — искусство сравнения длин, площадей и углов ## 1. Введение Геометрические неравенства — это мощный инструмент олимпиад...
Гомотетия и поворот
# Гомотетия и поворот — два движения, одно решение ## 1. Введение В геометрических задачах часто встречаются конфигурации, где нужно доказать, что т...
Золотое сечение в геометрии
# Золотое сечение в геометрии — гармония, скрытая в числах ## 1. Введение Золотое сечение — это удивительное математическое отношение, которое встре...
Координатный метод в геометрии
# Координатный метод в геометрии — превращаем рисунки в алгебру ## 1. Введение Координатный метод — это мощный алгебраический подход к решению геоме...
Лемма о 5 кругах
# Лемма о 5 кругах — когда окружности танцуют хоровод ## 1. Введение Представь себе пять окружностей, расположенных так, что каждая касается двух со...
Метод координат
# Метод координат в планиметрии: когда и как применять для решения олимпиадных задач ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Метод коорди...
Метод площадей
# Метод площадей в геометрии: вычисление отношений и доказательство теорем ## 1. Введение Метод площадей — это мощный и элегантный подход к решению ...
Метод площадей в геометрии
# Метод площадей в геометрии — искусство превращать фигуры в числа ## 1. Введение **Метод площадей** — это мощный приём, который позволяет решать ге...
Ортоцентр и центр описанной окружности
# Ортоцентр и центр описанной окружности — две точки, которые всегда можно соединить ## 1. Введение В геометрии треугольника есть несколько замечате...
Площади многоугольников и формулы
# Площади многоугольников и формулы — искусство счета без лишних хлопот ## 1. Введение Площадь — одна из фундаментальных характеристик геометрическо...
Подобие треугольников и его признаки
# Подобие треугольников и его признаки — главный инструмент геометрии ## 1. Введение Подобие треугольников — это, пожалуй, самый мощный и часто испо...
Свойства биссектрис и медиан
# Свойства биссектрис и медиан — вспомогательные линии, превращающие сложные конфигурации в простые ## 1. Введение В геометрических задачах биссектр...
Теорема Менелая
# Теорема Менелая и её применение для доказательства коллинеарности точек ## 1. Введение Теорема Менелая — это классический результат планиметрии, к...
Теорема Менелая и Чевы: задачи
# Теорема Менелая и Чевы: задачи — от простого к олимпиадному ## 1. Введение Теоремы Менелая и Чевы — это два мощных инструмента для работы с отноше...
Теорема о вписанном угле и её следствия
# Теорема о вписанном угле и её следствия — ключ к олимпиадным окружностям ## 1. Введение Теорема о вписанном угле — одна из самых мощных и часто ис...
Теорема Пифагора и её обобщения
# Теорема Пифагора и её обобщения — от прямоугольного треугольника до олимпиадных высот ## 1. Введение Теорема Пифагора — одна из самых известных и ...
Теорема Стюарта и её приложения
# Теорема Стюарта и её приложения — мощный инструмент для работы с чевианами ## 1. Введение Теорема Стюарта — это классический результат геометрии т...
Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки
# Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки — ключ к решению задач с параллельными прямыми ## 1. Введение Теорема Фалеса — одна из фундаментальных т...
Теорема Чевы
# Теорема Чевы и её применение для доказательства пересечения прямых в одной точке ## 1. Введение Теорема Чевы — это классический результат евклидов...
Графы
Взвешенные графы и алгоритм Дейкстры
# Взвешенные графы и алгоритм Дейкстры — кратчайшие пути, которые спасают олимпиады ## 1. Введение Представь, что ты стоишь на карте города, где каж...
Гамильтоновы пути и циклы
# Гамильтоновы пути и циклы — ожерелья, которые нельзя разорвать ## 1. Введение Представьте, что вы — коммивояжёр, которому нужно объехать 10 городо...
Графы и матрицы смежности
# Графы и матрицы смежности — язык, на котором графы говорят с алгеброй ## 1. Введение Когда мы решаем олимпиадные задачи на графы, часто нужно не п...
Графы и сети: потоковые алгоритмы
# Графы и сети: потоковые алгоритмы — от истоков к стоку ## 1. Введение **Потоковые алгоритмы** — это мощный инструмент олимпиадной математики, позв...
Графы: обход в ширину и глубину
# Графы: обход в ширину и глубину — два взгляда на одну вершину ## 1. Введение Представь, что ты попал в лабиринт. Нужно найти выход — или просто пр...
Деревья и их свойства
# Деревья в теории графов: определение, свойства и олимпиадные задачи ## 1. Введение Дерево — один из фундаментальных объектов в теории графов, кото...
Деревья: свойства и применение
# Деревья: свойства и применение — граф, в котором нет циклов, но есть всё для победы ## 1. Введение **Дерево** — это связный граф без циклов. Если ...
Изоморфизм графов
# Изоморфизм графов — два графа, которые устроены одинаково ## 1. Введение Представь, что у тебя есть два рисунка, на которых нарисованы точки (верш...
Лемма о рукопожатиях в задачах
# Лемма о рукопожатиях в задачах — считаем рёбра графа правильно ## 1. Введение Лемма о рукопожатиях — это одна из первых и самых полезных теорем те...
Основы теории графов
# Основные понятия теории графов и их применение в олимпиадных задачах ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Теория графов — это раздел...
Основы теории графов: определения и примеры
# Основы теории графов: определения и примеры — мир точек и линий ## 1. Введение Теория графов — это раздел математики, изучающий связи между объект...
Остовные деревья и алгоритм Прима
# Остовные деревья и алгоритм Прима — как связать всё минимальной ценой ## 1. Введение Представь, что у тебя есть \( n \) городов, которые нужно сое...
Паросочетания в двудольных графах
# Паросочетания в двудольных графах — как найти идеальную пару ## 1. Введение Представь, что у тебя есть группа мальчиков и группа девочек, и каждый...
Планарные графы и формула Эйлера
# Планарные графы и формула Эйлера — как связаны вершины, рёбра и грани на плоскости ## 1. Введение Представь, что ты рисуешь граф на листе бумаги, ...
Раскраска графов и хроматическое число
# Раскраска графов и хроматическое число — как разложить конфликт по цветам ## 1. Введение Представь, что тебе нужно рассадить учеников за парты так...
Связность графов и компоненты
# Связность графов и компоненты — разбираем граф на кусочки ## 1. Введение Представь себе карту дорог между городами. Если из любого города можно до...
Теорема о четырёх красках
# Теорема о четырёх красках — инструмент, который всегда под рукой ## 1. Введение Представь, что тебе нужно раскрасить карту мира так, чтобы соседни...
Турниры и их свойства
# Турниры и их свойства — как устроены соревнования графов ## 1. Введение Представьте себе круговой турнир по футболу, где каждая команда играет с к...
Эйлеровы и Гамильтоновы пути
# Эйлеровы и Гамильтоновы пути в графах: критерии существования и применение ## 1. Введение В теории графов два классических понятия — **эйлеровы** ...
Эйлеровы пути и циклы
# Эйлеровы пути и циклы — рисуем одним росчерком ## 1. Введение Представьте, что вы гуляете по парку и хотите пройти по каждой дорожке ровно один ра...
Комбинаторика
E10a. Корни многочленов в комбинаторике
# E10a. Корни многочленов в комбинаторике **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** второй ф...
E10b. Двойной счёт через инциденции
# E10b. Двойной счёт через инциденции **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Курчатов. **Источник:** второй ...
E10. Двойной счёт
# E10. Двойной счёт **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Ломоносов. **Источник:** второй файл, база 1...
E11. Циклическое разрезание (равные блоки)
# E11. Циклическое разрезание (равные блоки) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источн...
E12. Расстановка ладей с гарантированным выбором
# E12. Расстановка ладей с гарантированным выбором **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ.. **Источник:** второй ...
E13. Графы: связность, деревья
# E13. Графы: связность, деревья **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Курчатов. **Источник:** второй файл,...
E14a. Алгебраические группировки в оценке
# E14a. Алгебраические группировки в оценке **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Высшая проба. **Источник:** ...
E14b. Явное построение примера (конструкция)
# E14b. Явное построение примера (конструкция) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Высшая проба. **Источник:** вт...
E14. Оценка + пример (главный жанр ВсОШ)
# E14. Оценка + пример (главный жанр ВсОШ) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Высшая проба. **Источник...
E15. Принцип включений-исключений
# E15. Принцип включений-исключений **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов, Высшая проба. **Исто...
E16. Раскраски как инвариант
# E16. Раскраски как инвариант **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Турнир городов. **Источник:**...
E17. Метод усреднения
# E17. Метод усреднения **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Турнир городов. **Источник:** второй фай...
E18. Симметричная стратегия (копирование) в играх
# E18. Симметричная стратегия (копирование) в играх **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Турнир г...
E1. Прямой подсчёт и перебор
# E1. Прямой подсчёт и перебор **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второй файл, ба...
E2. Биекция и инъекция
# E2. Биекция и инъекция **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ.. **Источник:** второй файл, база 102 методов,...
E3. Двойной счёт (классика)
# E3. Двойной счёт (классика) **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, база 10...
E4. Принцип Дирихле
# E4. Принцип Дирихле **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** второй файл, б...
E5a. Логарифмы и показательные уравнения
# E5a. Логарифмы и показательные уравнения **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Ломоносов. **Источник:** второй ...
E5b. Тригонометрические уравнения
# E5b. Тригонометрические уравнения **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй файл, б...
E5. Инварианты по модулю
# E5. Инварианты по модулю **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** второй файл,...
E6a. Чётность функций
# E6a. Чётность функций **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Ломоносов. **Источник:** второй файл, база 102 мето...
E6b. Графы: обходы, эйлеровы пути
# E6b. Графы: обходы, эйлеровы пути **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** вто...
E6c. Периодичность функций
# E6c. Периодичность функций **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех. **Источник:** второй файл, база 102 методов, мето...
E6. Графы (общее)
# E6. Графы (общее) **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, база 102 методов,...
E7. Игры: парные стратегии, чётностные инварианты
# E7. Игры: парные стратегии, чётностные инварианты **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Турнир городов. **Исто...
E8. Вероятностный метод (Эрдёш)
# E8. Вероятностный метод (Эрдёш) **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ.. **Источник:** второй файл, база 10...
E9. Экстремальный принцип
# E9. Экстремальный принцип **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов, Турнир городов. **Источник:** второй...
Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты
# Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты — ключ к комбинаторным тождествам ## 1. Введение **Бином Ньютона** — это формула, позволяющая раскрывать...
Графы: раскраска вершин и хроматическое число
# Графы: раскраска вершин и хроматическое число — как правильно красить граф, чтобы соседи не совпадали ## 1. Введение Представь, что тебе нужно рас...
Комбинаторика на шахматной доске
# Комбинаторика на шахматной доске — считаем ходы и расстановки ## 1. Введение Шахматная доска — классический объект для комбинаторных задач. Её стр...
Комбинаторные тождества и их доказательства
# Комбинаторные тождества и их доказательства — искусство счёта двумя способами ## 1. Введение Комбинаторные тождества — это равенства, связывающие ...
Лемма о рукопожатиях и графы
# Лемма о рукопожатиях и графы — считаем рёбра, решаем задачи ## 1. Введение Лемма о рукопожатиях — это одно из самых простых и в то же время мощных...
Лемма Холла о паросочетаниях
# Лемма Холла о паросочетаниях — как найти «идеальную пару» для каждого ## 1. Введение Представь, что у тебя есть несколько групп людей, и каждая гр...
Метод шаров и перегородок
# Метод шаров и перегородок: искусство подсчёта решений ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Метод шаров и перегородок (также известны...
Метод шаров и перегородок с ограничениями
# Метод шаров и перегородок с ограничениями — считаем правильно, когда всё не просто так ## 1. Введение Метод шаров и перегородок — один из самых на...
Перестановки и сочетания с повторениями
# Перестановки и сочетания с повторениями — когда объекты не уникальны ## 1. Введение В классической комбинаторике мы часто работаем с **различимыми...
Правило суммы и произведения в задачах
# Правило суммы и произведения в задачах — Считаем варианты без перебора ## 1. Введение **Правило суммы** и **правило произведения** — это два базов...
Принцип включений-исключений
# Принцип включений-исключений: от основ к олимпиадным вершинам ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Принцип включений-исключений (ПВИ...
Принцип Дирихле
# Принцип Дирихле: от простых ящиков к олимпиадным вершинам ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Принцип Дирихле (также известный как ...
Принцип Дирихле для бесконечных множеств
# Принцип Дирихле для бесконечных множеств — когда клеток больше, чем кроликов, но и тех, и других бесконечно много ## 1. Введение **Принцип Дирихле...
Принцип крайнего в комбинаторике
# Принцип крайнего в комбинаторике — ищи самое маленькое и самое большое ## 1. Введение Принцип крайнего — один из самых мощных и элегантных методов...
Производящие функции в комбинаторике
# Производящие функции в комбинаторике — мощный инструмент для подсчёта комбинаторных объектов ## 1. Введение Производящие функции — это элегантный ...
Размещения и перестановки без повторений
# Размещения и перестановки без повторений — считаем упорядоченные наборы ## 1. Введение Комбинаторика часто спрашивает нас: «Сколько способов?» Но ...
Рекуррентные последовательности и их решение
# Рекуррентные последовательности и их решение — как выразить \(n\)-й член через предыдущие ## 1. Введение **Рекуррентная последовательность** — это...
Рекуррентные соотношения
# Составление и решение рекуррентных соотношений в комбинаторных задачах ## 1. Введение Рекуррентные соотношения — это мощный и элегантный метод реш...
Теория Рамсея для начинающих
# Теория Рамсея для начинающих — как гарантировать порядок в хаосе ## 1. Введение Представь, что ты попал на шумную вечеринку, где собрались 6 челов...
Формула включений-исключений для нескольких множеств
# Формула включений-исключений для нескольких множеств — как не запутаться в пересечениях ## 1. Введение Формула включений-исключений (ФВИ) — это мо...
Числа Каталана и их интерпретации
# Числа Каталана и их интерпретации — как одна последовательность объединяет десятки комбинаторных задач ## 1. Введение Числа Каталана — это одна из...
Логика
B1. Рыцари и лжецы
# B1. Рыцари и лжецы **Уровень:** база. **Классы:** 5, 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Турнир городов. **Источник:** второй файл, база 102 мет...
B2. Симуляция процесса по шагам
# B2. Симуляция процесса по шагам **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ. **Источник:** второй файл, база 102 методов, ...
B3. Взвешивания и адаптивные измерения
# B3. Взвешивания и адаптивные измерения **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Турнир городов. **Источник:** ...
B4. Шляпы и стратегии с информацией
# B4. Шляпы и стратегии с информацией **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** в...
B5. Переправы и перевозки
# B5. Переправы и перевозки **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ. **Источник:** второй файл, база 102 методов, метод ...
B6. Турниры и линейные порядки
# B6. Турниры и линейные порядки **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Физтех. **Источник:** второй файл, база 1...
B7. Парная стратегия (доминошки)
# B7. Парная стратегия (доминошки) **Уровень:** средний. **Классы:** 7, 8, 9, 10. **Где тренировать:** ВсОШ. **Источник:** второй файл, база 102 мето...
Алгоритмы и их сложность
# Алгоритмы и их сложность — как измерить скорость невидимого ## 1. Введение Когда мы решаем олимпиадную задачу, мы часто придумываем алгоритм — пос...
Задачи на взвешивание и переливание
# Задачи на взвешивание и переливание — учимся находить неизвестное с помощью операций ## 1. Введение Задачи на взвешивание и переливание — это клас...
Игры и стратегии: выигрышные позиции
# Игры и стратегии: выигрышные позиции — ищи точки силы ## 1. Введение Многие олимпиадные задачи на логику — это игры двух игроков с полной информац...
Инварианты
# Метод инвариантов: поиск величин, не меняющихся при операциях ## 1. Введение Метод инвариантов — это мощный и элегантный приём в олимпиадной матем...
Инварианты в задачах на перестановки
# Инварианты в задачах на перестановки — величина, которая не меняется при преобразованиях ## 1. Введение Метод инвариантов — один из самых мощных и...
Инварианты: чётность и модули
# Инварианты: чётность и модули — меняемся, но что-то остаётся ## 1. Введение Представь, что у тебя есть несколько кубиков, и ты можешь их переклады...
Комбинаторные игры и стратегии
# Комбинаторные игры и стратегии — математическая дуэль без случайностей ## 1. Введение Комбинаторные игры — это игры двух игроков с полной информац...
Логика высказываний и кванторы
# Логика высказываний и кванторы — от таблиц истинности к олимпиадным задачам ## 1. Введение Логика высказываний — это фундамент, на котором строитс...
Логические задачи и таблицы истинности
# Логические задачи и таблицы истинности — инструмент, превращающий хаос в стройную систему ## 1. Введение Логические задачи — это не просто «голово...
Метод математической индукции в логике
# Метод математической индукции в логике — как доказывать бесконечные цепочки утверждений ## 1. Введение Метод математической индукции — это мощный ...
Метод от противного
# Метод от противного — когда прямое доказательство заходит в тупик ## 1. Введение Метод от противного — один из самых мощных и элегантных приёмов в...
Метод раскрасок для доказательств
# Метод раскрасок для доказательств — когда цвета помогают увидеть истину ## 1. Введение Метод раскрасок — это мощный и элегантный приём в комбинато...
Парадоксы и их разрешение
# Парадоксы и их разрешение — как не попасться в ловушку очевидного ## 1. Введение Парадокс — это утверждение или рассуждение, которое приводит к пр...
Принцип Дирихле в логике
# Принцип Дирихле в логике — если кроликов больше, чем клеток, то хотя бы два кролика сидят в одной клетке ## 1. Введение **Принцип Дирихле** (или п...
Принцип крайнего
# Принцип крайнего: искусство находить опорную точку в доказательствах ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Принцип крайнего — один из...
Принцип крайнего в олимпиадных задачах
# Принцип крайнего в олимпиадных задачах — выбирай самого-самого, и задача сдастся ## 1. Введение **Принцип крайнего** — это мощный эвристический ме...
Принцип узких мест
# Принцип узких мест: анализ критических элементов в конструкциях ## 1. Введение В олимпиадной математике, особенно в задачах на комбинаторику, теор...
Принцип узких мест в комбинаторике
# Принцип узких мест в комбинаторике — считай через самое тесное место ## 1. Введение Принцип узких мест (или принцип «бутылочного горлышка») — это ...
Раскраски
# Метод раскрасок в олимпиадных задачах: шахматная раскраска и обобщения ## 1. Введение Метод раскрасок — один из самых изящных и мощных инструменто...
Счётные и несчётные множества
# Счётные и несчётные множества — как сравнивать бесконечности ## 1. Введение В олимпиадной математике мы часто сталкиваемся с бесконечными множеств...
Теория игр: минимакс и равновесие
# Теория игр: минимакс и равновесие — как переиграть соперника, зная его ходы ## 1. Введение Теория игр — это раздел математики, изучающий принятие ...
Неравенства
G1. AM-GM и средние
# G1. AM-GM и средние **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Высшая проба, Физтех. **Источник:** второй файл...
G2. Коши-Буняковский, перегруппировки
# G2. Коши-Буняковский, перегруппировки **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй фай...
G3. Шур и SOS-разложение
# G3. Шур и SOS-разложение **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Высшая проба, Турнир городов. **Источник:** второй файл, ба...
G4. Йенсен (выпуклые функции)
# G4. Йенсен (выпуклые функции) **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй файл, база ...
G5. SOS-расширения
# G5. SOS-расширения **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Турнир городов, междунар.. **Источник:** второй файл, база 102 ме...
G6. Симметричные/циклические неравенства
# G6. Симметричные/циклические неравенства **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** второй ...
G7. Метод касательных, локальные возмущения
# G7. Метод касательных, локальные возмущения **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Высшая проба, междунар.. **Источник:** в...
G8. Подстановки и нормализация в симметричных неравенствах
# G8. Подстановки и нормализация в симметричных неравенствах **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Высшая проб...
Теория чисел
D10. p-адическое v_p и формула Лежандра
# D10. p-адическое v_p и формула Лежандра **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** второй ф...
D11. Разложения в столбик, цифровые суммы
# D11. Разложения в столбик, цифровые суммы **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второ...
D12. Целочисленные оценки
# D12. Целочисленные оценки **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** второй файл, б...
D13. Диофантовы уравнения: общий метод (оценка + перебор остатков)
# D13. Диофантовы уравнения: общий метод (оценка + перебор остатков) **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломон...
D1a. Признаки делимости на 2,3,4,5,8,9,11
# D1a. Признаки делимости на 2,3,4,5,8,9,11 **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второй фай...
D1b. Серия конструкций (бесконечно много примеров)
# D1b. Серия конструкций (бесконечно много примеров) **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ.. **Источник:** вт...
D1. Делимость, признаки делимости
# D1. Делимость, признаки делимости **Уровень:** база. **Классы:** 6, 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** ...
D2. НОД, НОК, алгоритм Евклида
# D2. НОД, НОК, алгоритм Евклида **Уровень:** база. **Классы:** 7, 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Курчатов. **Источник:** второй...
D3. Сравнения по модулю
# D3. Сравнения по модулю **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов, Физтех. **Источник:** второй файл, ба...
D4. Бесконечный спуск
# D4. Бесконечный спуск **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Физтех. **Источник:** второй файл, база 102 ...
D5. Китайская теорема об остатках
# D5. Китайская теорема об остатках **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** второй...
D6. Алгебраические тождества в ТЧ
# D6. Алгебраические тождества в ТЧ **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, база...
D7. LTE (Lifting the Exponent)
# D7. LTE (Lifting the Exponent) **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ заключ., Турнир городов. **Источник:** второ...
D8. Анализ остатков по конкретному модулю
# D8. Анализ остатков по конкретному модулю **Уровень:** средний. **Классы:** 8, 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Ломоносов. **Источник:** второ...
D9. Простые числа и их распределение
# D9. Простые числа и их распределение **Уровень:** средний. **Классы:** 9, 10, 11. **Где тренировать:** ВсОШ, Курчатов. **Источник:** второй файл, б...
Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм
# Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм — ключ к поиску НОД и линейных представлений ## 1. Введение Алгоритм Евклида — это древнейший и эффективне...
Арифметические функции и их свойства
# Арифметические функции и их свойства — секреты работы с делителями и суммой цифр ## 1. Введение Арифметические функции — это функции, определённые...
Делимость и признаки делимости
# Делимость и признаки делимости — математический детектив ## 1. Введение Делимость — это фундаментальное понятие теории чисел, которое позволяет по...
Диофантовы уравнения
# Методы решения диофантовых уравнений: спуск, параметризация, модульная арифметика ## 1. Введение Диофантовы уравнения — это уравнения, для которых...
Китайская теорема об остатках
# Китайская теорема об остатках: мощный инструмент для решения систем сравнений ## 1. Введение — что это за метод и зачем он нужен Китайская теорема...
Китайская теорема об остатках: обобщения
# Китайская теорема об остатках: обобщения — как решать системы сравнений, когда модули не взаимно просты ## 1. Введение Китайская теорема об остатк...
Линейные диофантовы уравнения
# Линейные диофантовы уравнения — как найти целые решения, когда числа не делятся ## 1. Введение Линейные диофантовы уравнения — это уравнения вида ...
Малая теорема Ферма
# Малая теорема Ферма и её применение в олимпиадных задачах на делимость и сравнения ## 1. Введение Малая теорема Ферма — один из краеугольных камне...
Малая теорема Ферма для составных модулей
# Малая теорема Ферма для составных модулей — когда простое не подходит ## 1. Введение Малая теорема Ферма — одна из ключевых теорем теории чисел, н...
Метод бесконечного спуска в теории чисел
# Метод бесконечного спуска в теории чисел — от противного к невозможному ## 1. Введение **Метод бесконечного спуска** — это мощный приём доказатель...
Неравенства в теории чисел: оценка простых чисел
# Неравенства в теории чисел: оценка простых чисел — как оценить количество простых чисел, не пересчитывая их ## 1. Введение В олимпиадной теории чи...
НОД и алгоритм Евклида
# Алгоритм Евклида, линейное представление НОД и их применение в олимпиадных задачах ## 1. Введение Алгоритм Евклида — один из древнейших и наиболее...
Основная теорема арифметики и её следствия
# Основная теорема арифметики и её следствия — ключ к пониманию делимости ## 1. Введение **Основная теорема арифметики** — это фундаментальное утвер...
Разложение на простые множители больших чисел
# Разложение на простые множители больших чисел — когда перебор не работает ## 1. Введение Разложение числа на простые множители — одна из фундамент...
Символ Лежандра и квадратичные вычеты
# Символ Лежандра и квадратичные вычеты — мощный инструмент для проверки разрешимости квадратичных сравнений ## 1. Введение В теории чисел часто воз...
Сравнения по модулю и их свойства
# Сравнения по модулю и их свойства — инструмент для работы с остатками ## 1. Введение **Сравнения по модулю** — это мощный язык для описания свойст...
Степени и первообразные корни
# Степени и первообразные корни — от порядка элемента к циклической структуре кольца вычетов ## 1. Введение В теории чисел часто возникает задача: п...
Суммы квадратов и теорема Лагранжа
# Суммы квадратов и теорема Лагранжа — когда каждое число — сумма четырёх квадратов ## 1. Введение Теорема Лагранжа о четырёх квадратах — одно из са...
Теорема Вильсона и её применения
# Теорема Вильсона и её применения — мощный инструмент для работы с факториалами и простыми числами ## 1. Введение Теорема Вильсона — это элегантный...
Функция Эйлера и теорема Эйлера
# Функция Эйлера и теорема Эйлера — ключ к работе с остатками и степенями ## 1. Введение Функция Эйлера и теорема Эйлера — это мощный инструмент для...
Цепные дроби и их приложения
# Цепные дроби и их приложения — искусство приближений ## 1. Введение **Цепные дроби** — это способ представления действительных чисел в виде многоэ...
Функции и анализ
H1. Пределы и непрерывность
# H1. Пределы и непрерывность **Уровень:** средний. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй файл, база 102 ме...
H2. Производные: исследование функций
# H2. Производные: исследование функций **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй фай...
H3. Интегралы и площади
# H3. Интегралы и площади **Уровень:** средний. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба. **Источник:** второй файл, база 102 методо...
H4. Ряды и сходимость
# H4. Ряды и сходимость **Уровень:** олимпиадный. **Классы:** 11. **Где тренировать:** Физтех. **Источник:** второй файл, база 102 методов, метод H4 ...
H5. Метод вспомогательной функции
# H5. Метод вспомогательной функции **Уровень:** средний. **Классы:** 10, 11. **Где тренировать:** Физтех, Высшая проба, ВсОШ заключ.. **Источник:** ...