Пронумеруем числа $a_1, a_2$, ..., $a_19$. Рассмотрим 19 частичных сумм $S_k = a_1 + a_2 +$ ... + $a_k$ для $k = 1$,...,19, и положим $S_0 = 0$. Всего 20 сумм: $S_0, S_1$, ..., $S_19$. Их остатки при делении на 19 принимают значения 0, 1, ..., 18 — всего 19 вариантов. Если $S_k \equiv 0 (mod 19)$ для некоторого $k \geq 1$ — нашлась нужная дуга. Иначе $S_1$,...,$S_19$ принимают остатки из {1,...,18} — 18 значений. Среди 19 сумм $S_1$,...,$S_19$ по принципу Дирихле найдутся $i < j$ с $S_i \equiv S_j (mod 19)$. Тогда $a_{i+1}+$...+$a_j = S_j$ — $S_i \equiv 0 (mod 19)$. Для окружности нужно учесть «дуги», переходящие через начало: они покрываются суммами вида $S_n$ — $S_k + S_j$, что аналогично разности с учётом цикличности — в данном доказательстве через линейные суммы покрываются все «прямолинейные» дуги, а поскольку $n=19$ (простое), аргумент замыкается.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!