Заметим, что $2(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca) = (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}$. Поскольку $a, b, c$ попарно различны, все три скобки ненулевые, а квадраты рациональных чисел строго положительны. Следовательно, $(a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} > 0$, откуда $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$. Неравенство доказано.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!