Всего матчей: $C(8,2)=28$, суммарно очков: 56. Команды набрали 8 различных неотрицательных целых чисел с суммой 56. Минимальная возможная сумма 8 различных неотрицательных целых: $0+1+2+3+4+5+6+7=28$. Максимум очков одной команды: $7\cdot 2=14$. Если последнее место набрало 0 очков (то есть проиграло все 7 матчей), то остальные 7 команд разыгрывают между собой $C(7,2)=21$ матч (42 очка) плюс каждая получила по 2 очка от победы над «последней» — итого максимум $42+14=56$ очков у 7 команд с 7 различными значениями. Числа могут быть 2,3,4,5,6,7,8,... нет противоречия сразу. Более тонко: команда с 0 очков проиграла всем, тогда каждая из остальных получила $\geq$2. Семь команд имеют различные очки $\geq$2, то есть $\geq$2,3,4,5,6,7,8, сумма $\geq$35, а всего очков у семи команд = $56 - 0 = 56$, что допустимо. Значит, прямого противоречия нет. Переформулируем: покажем, что последнее место не могло набрать 0. Суммарно у всех 56 очков. 8 различных целых неотрицательных с суммой 56 — минимально возможная сумма 28, максимальное значение $\leq$14. Набор 0,1,2,...,7 даёт сумму $28\neq 56$. Набор с суммой 56 и максимумом 14: например 8,9,10,11,12,... не все достижимы. На самом деле наибольший возможный набор: 7,8,9,10,11,12,13,14 — сумма $84>56$. Найдём: если минимальный элемент равен $a$, то сумма $\geq$ $a+(a+1)+$...+$(a+7)=8a+28=56$, откуда $a=3,5$. Значит, минимальное число очков у последней команды $\geq$ 3,5, то есть $\geq$ 4 (целое). Команда с $\geq$4 очками выиграла хотя бы 2 матча (4 очка за 2 победы), то есть точно одержала победу. Таким образом, последняя команда набрала не менее 4 очков и выиграла хотя бы один матч.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!