Проверим $p$ по модулю 3. При $p = 3: p^{2} + 2 = 11$ (простое), $p^{3} + 2 = 29$ (простое) — подходит. При $p \neq 3 (p > 3): p \equiv 1$ или $p \equiv 2 (mod 3)$. Если $p \equiv 1 (mod 3)$, то $p^{2} \equiv 1, p^{2} + 2 \equiv 0 (mod 3)$ — составное. Если $p \equiv 2 (mod 3)$, то $p^{3} \equiv 8 \equiv 2, p^{3} + 2 \equiv 4 \equiv 1 (mod 3)$... точнее $p^{3} \equiv 2^{3} = 8 \equiv 2 (mod 3), p^{3} + 2 \equiv 4 \equiv 1 (mod 3)$ — не делится на 3, но $p^{2} \equiv 4 \equiv 1 (mod 3), p^{2} + 2 \equiv 0 (mod 3)$ — составное. Таким образом, единственное решение: $p = 3$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!