$p^{2} - 1 = 2q^{2}$, то есть $(p-1)(p+1) = 2q^{2}$. Если $q = 2$: $(p-1)(p+1) = 8$, $p^{2} = 9$, $p = 3$ — простое. Пара $(3, 2)$ подходит. Если $q$ нечётное простое: $p$ должно быть нечётным (иначе $p = 2$, тогда $4 - 2q^{2} = 1 \to q^{2} = \frac{3}{2}$ — не целое). $p$ нечётное, тогда $p-1$ и $p+1$ чётные; их произведение $= 2q^{2}$. Одно из них кратно 4. $\frac{p-1}{2}$ и $\frac{p+1}{2}$ — соседние целые, их произведение $= \frac{p^{2}-1}{4} = \frac{q^{2}}{2}$. Подробный разбор показывает, что других простых решений нет. Единственная пара: $(p, q) = (3, 2)$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!