Рассмотрим 7 последовательных чисел $k, k+1$, ..., $k+6$. Среди них есть нечётное число, не кратное 3, 5 и 7 (наименьшие простые делители). По китайской теореме об остатках и принципу включений-исключений, среди 7 последовательных чисел хотя бы одно не делится ни на 2, 3, 5. Чтобы число было взаимно просто с остальными шестью, достаточно, чтобы оно не делилось ни на одно простое $p \leq 7$. Наибольшая разность между числами равна $6 < 7 < 11$, поэтому если некоторое простое $p \geq 11$ делит одно из чисел, оно не делит никакое другое в этом промежутке. Среди 7 последовательных чисел всегда найдётся простое (что следует из слабой формы постулата Бертрана) или взаимно простое с произведением $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, что и обеспечивает взаимную простоту с шестью соседями.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!