По $mod 8: 7 \equiv -1, 5 \equiv 5$. $7^n \equiv (-1)^n, 5^2 = 25 \equiv 1$, поэтому $5^n$ имеет период 2 по $mod 8: 5^n \equiv 5$, если $n$ нечётное, $5^n \equiv 1$, если $n$ чётное. Если $n$ чётное: $(-1)^n + 3\cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \equiv 0 (mod 8)$. Если $n$ нечётное: -$1 + 3\cdot 5 - 4 = -1 + 15 - 4 = 10 \equiv 2 (mod 8)$. Проверка при $n=1: 7 + 15 - 4 = 18, 18 mod 8 = 2$. Нечётный случай делится на 2, но не на 8. Исправление: при $n$ нечётном $5^n \equiv 5 (mod 8): (-1) + 15 - 4 = 10, 10 mod 8 = 2 \neq 0$. Таким образом, утверждение верно лишь для чётных $n$; полное доказательство методом математической индукции: база $n=2: 49 + 75 - 4 = 120 = 8\cdot 15$. Шаг: если $P(n)$ верно, то $P(n+2)$ проверяется добавлением слагаемых, кратных 8.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!