Рассмотрим потенциал $\Phi =$ сумма по всем фишкам значений $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+y}$, где $(x,y)$ — координата фишки. Изначально $\Phi = \left(\frac{1}{2}\right)^{0+0} + \left(\frac{1}{2}\right)^{1+0} + \left(\frac{1}{2}\right)^{0+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$. При ходе: убираем фишку из $(m,n)$ с вкладом $\left(\frac{1}{2}\right)^{m+n}$ и добавляем фишки в $(m-1,n)$ и $(m,n-1)$ с вкладами $\left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1} = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-2}$. Пересчитаем: оба слагаемых равны $\left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1}$, их сумма $= \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-2}$. Потенциал меняется на $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{m+n-1} > 0$. Значит $\Phi$ строго возрастает. Но $\Phi$ начинается с 2, а конфигурация трёх фишек в $\{(0,0),(0,0),(0,0)\}$ имела бы $\Phi=3>2$. Ключевое: фишки не могут занять квадрат внутри $\{(0,0),(1,0),(0,1)\}$ с суммарным $\Phi > 2$, поскольку любая конфигурация только в этих трёх клетках имеет $\Phi \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$ (при по одной фишке). Три фишки в $(0,0)$ дадут $\Phi=3>2$ — невозможно. Игра бесконечна, так как $\Phi$ строго возрастает и не ограничена: появляются фишки всё дальше от начала.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!