Рассмотрим инвариант — сумму квадратов расстояний между всеми парами точек, или более удобно: потенциал $Φ =$ сумма по всем точкам $|P|^2$ (квадратов расстояний от начала координат, но удобнее инвариант объёма). Рассмотрим сумму координат всех точек — она при данной операции меняется (центр тяжести треугольника не совпадает с точкой). Точнее: при отражении точки $P$ относительно центроида $G=\frac{A+B+C}{3}$ треугольника ABC, новое положение $P$' = $2G - P = \frac{2A+2B+2C}{3} - P$. Рассмотрим $Φ =$ сумма координат $x$ по всем точкам. Φ меняется на $(2\frac{xA+xB+xC}{3} - xP) - xP = 2\frac{xA+xB+xC}{3} - 2xP$. Это может быть как положительным, так и отрицательным. Нужен монотонный инвариант: подойдёт $Φ =$ сумма всех попарных расстояний, доказывается что она строго убывает при каждой операции (или возрастает — в любом случае ограничена и меняется на постоянную величину). Игра конечна, так как число конфигураций (при дискретных координатах) конечно. В непрерывном случае доказательство сложнее и требует монотонного потенциала.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!