Используем тождество: $F_0 \cdot F_1 \cdot s F_{n-1} = F_n - 2$, доказываемое по индукции: база $F_0 = 3 = F_1 - 2$. Шаг: $F_0 \cdot s F_n = (F_n - 2) \cdot F_n = F_n^2 - 2F_n = (2^{2^n}+1)^2 - 2(2^{2^n}+1) = 2^{2^{n+1}} - 1 = F_{n+1} - 2$. Если $d = \gcd(F_m, F_n)$ для $m < n$, то $d$ делит $F_n - 2 = F_0 \cdot s F_{n-1}$, а значит $d$ делит $F_m$ и $F_n - 2$ (что кратно $F_m$), поэтому $d \mid 2$. Так как все $F_n$ нечётны, $d = 1$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!