Используем метод бесконечного спуска Ферма. Предположим, существует решение с наименьшим $z$. Из $x^{4} + y^{4} = z^{2}$ следует, что $(x^{2}, y^{2}, z)$ — пифагорова тройка. Для примитивной тройки: $x^{2} = m^{2}$ — $n^{2}, y^{2} = 2mn, z = m^{2} + n^{2}, gcd(m,n)=1, m>n$. Из $y^{2} = 2mn$ и взаимной простоты: $m = a^{2}, n = 2b^{2}$, тогда $x^{2} = a^{4}$ — $4b^{4}$, откуда $(x, 2b^{2}, a^{2})$ — снова пифагорова тройка с меньшей гипотенузой $a^{2} < z$. Противоречие с минимальностью $z$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!