Рассмотрим «$2-$адический вес» позиции: пусть $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot$ .... Определим потенциал $\varphi (x) = a$ (показатель при 2). Ход «делить на 2» уменьшает $a$ на 1; ход «умножить на 2» увеличивает $a$ на 1; ходы с 3 и 5 не меняют $a$. Это не монотонный инвариант напрямую. Вместо этого заметим: игра конечна (число операций ограничено), поэтому применима теория Шпрага–Грэнди. Инвариант: рассмотрим суммарный показатель $\Omega (x) = a + b + c$ (количество простых делителей с кратностью). Каждый ход меняет $\Omega$ на $\pm 1$. Следовательно, игра эквивалентна игре «на числовой прямой», где за ход можно переместиться на 1 влево или вправо, проигрывает тот, кто попадает в 0. Начальное $\Omega (2^{2023})=2023$ (нечётное). Позиции с нечётным $\Omega$ — выигрышные для ходящего. Побеждает первый игрок.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!