Предположим, что решение $(x,y,z)\neq(0,0,0)$ существует, и выберем его с минимальным $|x|+|y|+|z|>0$. Шаг 1 (по модулю 2): $x^3\equiv 4z^3-2y^3\equiv 0\pm od 2$, значит $x$ чётно: $x=2x'$. Шаг 2: подставим: $8x'^3+2y^3=4z^3$, т.е. $4x'^3+y^3=2z^3$. Теперь $y^3\equiv 2z^3-4x'^3\equiv 0\pm od 2$, значит $y$ чётно: $y=2y'$. Шаг 3: $4x'^3+8y'^3=2z^3$, т.е. $2x'^3+4y'^3=z^3$. Тогда $z^3\equiv 0\pm od 2$, значит $z$ чётно: $z=2z'$. Шаг 4: $2x'^3+4y'^3=8z'^3$, т.е. $x'^3+2y'^3=4z'^3$. Мы получили то же уравнение с $(x',y',z')$, где $|x'|+|y'|+|z'|=\frac{1}{2}(|x|+|y|+|z|)$ — противоречие с минимальностью. Следовательно, нетривиальных решений нет.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!