Заметим: $n^2+4n+4=(n+2)^2$. Требуется $(n+2)^2=p^k$. Пусть $m=n+2\geq 3$. Тогда $m^2=p^k$. Если $k=2j$ чётно: $m^2=p^{2j}\Rightarrow m=p^j$ — решение для любого простого $p$ и $j\geq 1$: $n=p^j-2$. Если $k$ нечётно: $m^2=p^k\Rightarrow m=p^{\frac{k}{2}}$ — нецелое, противоречие. Таким образом, $k$ обязательно чётно. При $k=2$: $(n+2)^2=p^2\Rightarrow n+2=p\Rightarrow n=p-2$ — решения для всех простых $p\geq 3$ (т.е. $n=1,3,5,9,\ldots$). При $k=4$: $n=p^2-2$; при $k=6$: $n=p^3-2$, и т.д. Ответ: все $n = p^j - 2$, где $p$ — простое, $j\geq 1$, $p^j\geq 3$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!