Предположим, что решение $(x,y,z)$ с $\gcd(x,y)=1$ и минимальным $x$ существует. Запишем $z^2 = x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$. Так как $\gcd(x,y)=1$, имеем $\gcd(x^2-y^2,x^2+y^2)\\in\{1,2\}$. Если оба нечётны (т.е. $x,y$ разной чётности), то $x^2-y^2$ и $x^2+y^2$ нечётны, оба должны быть точными квадратами: $x^2-y^2=a^2$ и $x^2+y^2=b^2$. Из $x^2+y^2=b^2$ — пифагорова тройка: $x=m^2-n^2,\,y=2mn,\,b=m^2+n^2$. Из $x^2-y^2=a^2$: $(m^2-n^2)^2-(2mn)^2=a^2$, т.е. $m^4-6m^2n^2+n^4=a^2$. Нетрудно показать, что это снова ведёт к уравнению вида $u^4-v^4=w^2$ с $u < x$, что противоречит минимальности. Аналогично разбирается случай чётности. Бесконечный спуск доказывает отсутствие решений.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!