По теореме Дирихле: $\gcd(2,5)=1$, поэтому прогрессия $2,7,12,17,22,27,\ldots$ содержит бесконечно много простых. Элементарное доказательство: Пусть $p_1,\ldots,p_r$ — все простые вида $5k+2$. Рассмотрим $N=5p_1p_2\cdot s p_r+2$. Тогда $N\equiv 2\pm od 5$. Делитель $N$, равный 5: $N=5(p_1\cdot s p_r)+2$, не делится на 5. Значит все простые делители $N$ не равны 5. Вычеты простых делителей по модулю 5 лежат в $\{1,2,3,4\}$. Произведение их даёт $\equiv 2\pm od 5$. Если все делители $\equiv 1$ или $\equiv 4\pm od 5$ (т.е. вида $5k\pm 1$), произведение $\equiv \pm 1\pm od 5$ — не равно 2. Значит, хотя бы один делитель $\equiv 2$ или $\equiv 3\pm od 5$. Более аккуратный выбор: $N=(5p_1\cdot s p_r)^2 + 1$ или подбор, дающий делитель $\equiv 2\pm od 5$. Таким образом, новый простой не из списка $\{p_i\}$ — противоречие.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!