Рассмотрим уравнение по модулю $8$. Квадраты по модулю $8$ принимают значения $0, 1, 4$. Сумма трёх квадратов по модулю $8$ может быть: $0,1,2,3,4,5,6$. Значение $7 \equiv -1 \pm od 8$ недостижимо для суммы трёх квадратов: максимум $4+4+4=12 \equiv 4 \pm od 8$ при наличии нулей; проверим все случаи: $0+0+0=0$, $0+0+1=1$, $0+0+4=4$, $0+1+1=2$, $0+1+4=5$, $0+4+4=8 \equiv 0$, $1+1+1=3$, $1+1+4=6$, $1+4+4=9 \equiv 1$, $4+4+4=12 \equiv 4$. Значение $7$ ($\equiv 7 \pm od 8$) не достигается. При нечётном $n$: $7^n \equiv 7 \pm od 8$. Следовательно, $x^2+y^2+z^2=7^n$ не имеет решений в целых числах при нечётном $n$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!