Теорема Дирихле: если $\gcd(a,d)=1$, то прогрессия $a, a+d, a+2d,\ldots$ содержит бесконечно много простых чисел. При $a=3$, $d=4$: $\gcd(3,4)=1$, поэтому по теореме Дирихле существует бесконечно много простых вида $4k+3$. Элементарное доказательство (без теоремы Дирихле): предположим, что простых вида $4k+3$ конечно много: $p_1,\ldots,p_r$. Рассмотрим $N=4p_1p_2\cdot s p_r - 1$. Тогда $N\equiv 3\pm od 4$. Среди простых делителей $N$ должен найтись хотя бы один вида $4k+3$ (иначе все вида $4k+1$, и их произведение $\equiv 1\pm od 4$). Но этот делитель не совпадает ни с одним $p_i$ — противоречие.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!