Разложим $\sqrt{5}$ в непрерывную дробь: $\sqrt{5}=[2;\overline{4}]$. Первые подходящие дроби: $\frac{2}{1},\,\frac{9}{4},\,\frac{38}{17},\,\frac{161}{72},\ldots$ Фундаментальное решение получается из $\frac{9}{4}$: $x_1=9,y_1=4$, проверка: $81-80=1$. Рекуррентность: $x_{n+1}=9x_n+20y_n$, $y_{n+1}=4x_n+9y_n$. Решения: $(9,4)$, $(161,72)$, $(2889,1292)$, $(51841,23184)$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!