Пусть $n > 1$ — натуральное число, и пусть $\mathrm{ord}_n(a)$ обозначает порядок $a$ по модулю $n$ (при $\gcd(a,n)=1$). Докажите, что $\mathrm{ord}_n(a^k) = \dfrac{\mathrm{ord}_n(a)}{\gcd(\mathrm{ord}_n(a),\, k)}$. Затем найдите порядок числа $2^{10}$ по модулю $101$, зная, что порядок $2$ по модулю $101$ равен $100$.