Дано $n$ ненулевых положительных чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, сумма которых равна $S$. Докажите и используйте следующий результат: найдите минимум выражения $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}$ при условии $x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n} = S$. Чему равен этот минимум?