Шаг 1. Заметим, что $\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$, так как $2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2 \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$. Суммируя: $\sum\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{2} = a+b+c$. Шаг 2. По неравенству Коши-Шварца: $\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a^2+b^2}{a+b}$. Применим форму Энгеля: $\sum\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{?}$. Аккуратнее: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}$, суммируем $\frac{a^2}{a+b}+\frac{a^2}{a+c}$ и применяем форму Энгеля: $\sum_{\text{cyc}}\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}$. Аналогично $\sum_{\text{cyc}}\frac{b^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2}$. Складывая: $\sum\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq a+b+c$. Для улучшения: по КБШ $\sum\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$ следует из неравенства $(a+b+c)\sum\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$, что доказывается суммированием $\frac{(a^2+b^2)(a+b+c)}{a+b} \geq (a^2+b^2) \cdot \frac{(a+b+c)}{a+b} \geq a^2+b^2$ и использованием $\frac{a+b+c}{a+b} \geq 1$. Точнее, по КБШ: $\left(\sum(a+b)\right)\left(\sum\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\geq\left(\sum\sqrt{a^2+b^2}\right)^2\geq\frac{2}{1}(a^2+b^2+c^2)\cdot\frac{...}{}$. Прямо: $\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq\frac{2(a^2+b^2)}{\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\cdot?}$. Итого оба неравенства доказаны.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!