Используя форму Энгеля неравенства Коши-Шварца, докажите, что для положительных $x, y, z$ с $xyz = 1$ выполняется $\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{3}{2}$.
Правильный ответ
По форме Энгеля: $\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}$. По $AM-GM$: $x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz} = 3$. Следовательно, $\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3}{2}$. Равенство при $x = y = z = 1$.
💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!