Используя неравенство Йенсена для выпуклой функции $f(x) = e^x$, докажите, что для любых $a, b, c \\in \mathbb{R}$ выполняется $\frac{e^a + e^b + e^c}{3} \geq e^{\frac{a+b+c}{3}}$.
Правильный ответ
Функция $f(x) = e^x$ выпукла ($f''(x) = e^x > 0$). По неравенству Йенсена для выпуклой функции: $\frac{f(a) + f(b) + f(c)}{3} \geq f\!\left(\frac{a+b+c}{3}\right)$. Подставляя: $\frac{e^a + e^b + e^c}{3} \geq e^{\frac{a+b+c}{3}}$. Равенство при $a = b = c$.
💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!