Кодируем: клетка $(i,j)$ имеет значение $x_{ij} \\in GF(2), x_{ij}=0$ — красная, 1 — синяя. Цель: привести все к 0. Операция над прямоугольником [$r_{1},r_{2}]\times [c_{1},c_{2}]$ прибавляет $1 (mod 2)$ к $x_{ij}$ для всех $i \\in [r_{1},r_{2}], j \\in [c_{1},c_{2}]$. Каждая такая операция задаётся матрицей вида $u\cdot v^T$, где $u \\in GF(2)^{2024}$ (характеристическая строк) и $v \\in GF(2)^{2024}$ (характеристическая столбцов). Таким образом, достижимые изменения — это суммы матриц ранга 1, то есть все матрицы ранга $\leq$ 1 над $GF(2)$? Нет: сумма матриц ранга 1 может иметь произвольный ранг. Правильно: любое конечное число операций накапливает изменение вида $\sum$ $u_k v_k^T$, что является матрицей произвольного ранга. Обратно: матрицу $X$ можно обнулить тогда и только тогда, когда $X$ лежит в линейной оболочке всех матриц ранга $\leq$ 1 над $GF(2)$. Эта оболочка — все матрицы $GF(2)^{2024\times 2024}$. Следовательно, любую раскраску можно привести к красной. Более точный инвариант: для конкретного ограниченного числа операций существуют ограничения, но при неограниченном числе ходов ответ: любую раскраску можно привести к красной.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!