Первые пять $P-$позиций: $n=0: (0,0)$. $n=1$: (⌊$\varphi$⌋, ⌊$\varphi ^{2}$⌋) = $(1,2)$. $n=2$: (⌊$2\varphi$⌋, ⌊$2\varphi ^{2}$⌋) = $(3,5)$. $n=3$: (⌊$3\varphi$⌋, ⌊$3\varphi ^{2}$⌋) = $(4,7)$. $n=4$: (⌊$4\varphi$⌋, ⌊$4\varphi ^{2}$⌋) = $(6,10)$. Доказательство: по теореме Битти $(\frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi} ^{2} = 1)$, последовательности ⌊$n\varphi$⌋ и ⌊$n\varphi ^{2}$⌋ разбивают натуральные числа. Нужно проверить два свойства $P-$позиций: $(i)$ из каждой $P-$позиции нет хода в другую $P-$позицию; $(ii)$ из каждой не-$P-$позиции есть ход в $P-$позицию. Свойство $(i)$: разность ⌊$n\varphi ^{2}$⌋-⌊$n\varphi$⌋ = $n$ (доказывается через $\varphi ^{2}=\varphi +1$), поэтому диагональный ход «взять $n$ из каждой» переводил бы (⌊$n\varphi$⌋,⌊$n\varphi ^{2}$⌋) в (⌊$n\varphi$⌋-$n$, ⌊$n\varphi ^{2}$⌋-n) — но это не другая $P-$позиция по построению. Свойство $(ii)$ следует из того, что любое натуральное число входит ровно в одну из двух последовательностей.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!