Доказательство методом кражи стратегии. $(1)$ В хексе ничья невозможна: при полностью заполненной доске один из игроков обязательно имеет связный путь между своими сторонами (топологический факт, доказываемый леммой Шпернера). $(2)$ Предположим от противного, что второй игрок имеет выигрышную стратегию $\sigma _2$. $(3)$ Первый игрок делает произвольный первый ход — ставит фишку в любую клетку $A$ — и затем «притворяется» вторым игроком, применяя стратегию $\sigma _2$ к оставшейся позиции. $(4)$ Если стратегия $\sigma _2$ предписывает поставить фишку в уже занятую клетку $A$, первый делает ещё один произвольный ход (ставит в любую свободную клетку) и снова следует $\sigma _2$. Дополнительная фишка своего цвета никогда не мешает первому игроку — она может только помочь. $(5)$ Таким образом, первый игрок реализует стратегию второго не хуже, чем сам второй, и при этом имеет лишнюю фишку. Это противоречит тому, что $\sigma _2$ была выигрышной для второго. $(6)$ Следовательно, у второго нет выигрышной стратегии, и поскольку ничья невозможна, выигрышная стратегия есть у первого.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!