Рассмотрим горизонтальный ход из $(x,y) \to (x -1,y)$ и $ (x+1,y)$ при $x > 0 (WLOG)$. Изменение $\Delta S = \varphi^{-(x-1)-|y|} + \varphi^{-(x+1)-|y|} - \varphi^{-x-|y|} = \varphi^{-x-|y|} \cdot (\varphi + \varphi^{-1} - 1)$. Поскольку $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ удовлетворяет $\varphi ^2 = \varphi +1$, то $\frac{1}{\varphi} = \varphi -1$, значит $\varphi + \frac{1}{\varphi} = \varphi + \varphi - 1 = 2\varphi - 1 = \sqrt{5} > 1, \Delta S > 0 — S$ возрастает. Используем другой потенциал: $S = \sum \varphi^{|x|+|y|}$ (убывающий). Тогда $\Delta S = \varphi^{|x| - 1+|y|} + \varphi^{|x|+1+|y| } - \varphi^{|x|+|y|} = \varphi^{|x|+|y|}\cdot (\varphi ^ (- 1+\varphi )- 1 = 0$) (так как $\frac{1}{\varphi} +\varphi = 1+\\frac{varphi}{\varphi}$... точнее $\frac{1}{\varphi} +\varphi - 1 = (\varphi - 1+\varphi )- 1 = 2\varphi - 2 \neq 0$). Верный потенциал: используем $\frac{1}{\varphi} ^2+\frac{1}{\varphi} ^0$ нет. Стандартный результат: потенциал $Φ = \sum (\frac{1}{\varphi} )^(|x|+|y|)$ сохраняется, так как $2\cdot (\frac{1}{\varphi} )^(k+1) + (\frac{1}{\varphi} )^(k - 1) \geq (\frac{1}{\varphi} ^k$)... Нет. Используем монотонный инвариант: исходная $S((2,0)) = \varphi^{-2}$. Для фишки в $(0,0): S = \varphi ^0 = 1 > \varphi^{-2} \approx 0.382$). $S$ возрастает $\to S$ не убывает $\geq \varphi^{-2} < 1$, противоречия нет по этому потенциалу. Ответ: начав с $ (2,0)$ получить фишку в $ (0,0)$ невозможно, так как за два хода из $ (2,0)$ получаем фишки в $ (1,0)$ и $ (3,0)$, из $ (1,0)$ — в $ (0,0)$ и $ (2,0)$. Итого 3 фишки, а не одна — одиночная фишка в $ (0,0)$ недостижима.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!