$\text{Nim}$-значение одной кучки размера $n$ при допустимых ходах $1, 2, \ldots, k$ равно $G(n) = n \bmod (k+1)$, что вычисляется индукцией: $G(0)=0$, $G(m) = \text{mex}\{G(m-1),\ldots,G(m-k)\} = m \bmod (k+1)$. Для суммы трёх одинаковых кучек: $G = G(n) \oplus G(n) \oplus G(n)$. Если $r = n \bmod (k+1) = 0$, то $G = 0 \oplus 0 \oplus 0 = 0$ — $P$-позиция, первый проигрывает. Если $r \neq 0$, то $G(n) \oplus G(n) \oplus G(n) = r \oplus r \oplus r = r \neq 0$ — $N$-позиция, первый выигрывает. Стратегия победителя: первый берёт из одной кучки $r$ камней (приводит её к $n - r$, кратному $k+1$), а две другие остаются $n$. После этого $G = 0 \oplus r \oplus r = 0$. Далее второй ломает симметрию, первый восстанавливает.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!