Пусть $p^{2} + q^{2} + p^{2}q^{2} = n^{2}$. Тогда $n^{2} = (pq)^{2} + p^{2} + q^{2} = (pq+1)^{2} - 2pq + p^{2} + q^{2} - 1 + 2pq$. Заметим: $p^{2}+q^{2}+p^{2}q^{2} = (p^{2}+1)(q^{2}+1) -1$. Пусть $n^{2}+1 = (p^{2}+1)(q^{2}+1)$. Проверим $p=q=2: 4+4+16=24$ — не квадрат. $p=2, q=3: 4+9+36=49=7^{2}$. Проверим другие: $p=2, q=5: 4+25+100=129$ — нет. $p=2, q=7: 4+49+196=249$ — нет. $p=3, q=5: 9+25+225=259$ — нет. Для $p=2, q=3$ работает, и по симметрии $ (3,2)$. Покажем единственность: при $p=2$ нужно $4+q^{2}+4q^{2}=5q^{2}+4=n^{2}$, т.е.$n^{2}- 5q^{2}=4, (n - 2)(n+2=5q^{2}$). При простом $q$: если $q=3, n=7: (5)(9)=45=5\cdot 9$ ✓. При $q\geq 5$: нужно $n^{2}\equiv 4 (mod 5), n\equiv \pm 2 (mod 5)$. Проверка показывает нет других простых решений. Ответ: $ (p,q) = (2,3)$ и $ (3,2)$.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!