Рассмотрим уравнение по модулю 3. Квадраты по $mod 3: 0^{2} \equiv 0, 1^{2} \equiv 1, 2^{2} \equiv 1$. Поэтому $x^{2}, y^{2} \\in {0,1} (mod 3)$. Сумма $x^{2}+y^{2} \\in {0,1,2} (mod 3)$. Правая часть $3z^{2} \equiv 0 (mod 3)$. Значит, $x^{2}+y^{2} \equiv 0 (mod 3)$, то есть оба $x^{2}\equiv 0$ и $y^{2}\equiv 0 (mod 3)$, т.е. 3|x и 3|y. Пишем $x=3x_{1}, y=3y_{1}: 9x_{1}^{2}+9y_{1}^{2}=3z^{2}$, т.е. $3(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})=z^{2}$, значит $3|z^{2}, 3|z, z=3z_{1}$. Получаем $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=3z_{1}^{2}$. Бесконечный спуск: наименьшее решение невозможно. Ответ: натуральных решений нет.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!