$x^{2} - y^{2} = (x - y)(x+y$). Пусть $a = x - y, b = x+y, ab = n, a < b, a$ и $b$ одной чётности, $a \geq 1$. Число решений равно числу допустимых пар $ (a,b)$. Единственное решение $\iff$ ровно одна такая пара. Случай 1: $n$ нечётное. Пары: все $ (a,b)$ с $a\cdot b=n, a < b$, оба нечётны. Одна пара $\iff n = p$ (простое нечётное, пара $(1,p)$) или $n = p^{2}$ (пара $(1,p^{2})$, но тогда есть и $ (p,p)$ — нет, $ (p,p)$ даёт $y=0$, не натуральное). Точно одна пара: $n = p$, простое нечётное. Случай 2: $n$ чётное. Нужно $n = 4m$, оба a,b чётны. Одна пара $\iff m = p$ простое, тогда $ (2,2p)$. Итого: $n \in \{p : p\text{ — нечётное простое}\} \cup \{4p : p\text{ — простое}\}$. Ответ: ровно одно натуральное решение при $n$ — нечётном простом, либо при $n = 4p$, где $p$ — простое число.

💡 Авторизуйтесь, чтобы получить помощь AI-тьютора с подсказками и решениями!