H5 Метод вспомогательной функции

Идея метода: чтобы доказать неравенство $f(x) \geq g(x)$ на некотором промежутке, вводят вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x)$ и исследуют её с помощью производной. Если удаётся показать, что $\min h(x) \geq 0$ на этом промежутке, неравенство доказано. Аналогично, чтобы выяснить число корней уравнения $f(x) = c$, строят $h(x) = f(x) - c$ и считают, сколько раз она меняет знак или имеет локальные экстремумы.

Метод существует как отдельная единица потому, что идея «перенести всё в одну сторону и исследовать производную» неочевидна для ученика: кажется, что раз уравнение задано, надо его решать. Но если решить нельзя явно, то изучение монотонности — единственный надёжный способ понять поведение функции.

Интуиция: представьте, что $h(x)$ — это высота дороги над уровнем моря. Если дорога нигде не уходит ниже нуля (минимум $\geq 0$), значит, она всегда над уровнем моря. Производная $h'(x)$ — это наклон дороги: зная, где она поднимается и где опускается, можно найти самую низкую точку и убедиться, что она не под нулём.

Особенность метода: он не решает задачу алгебрически, а доказывает свойства решений через анализ. Это делает его мощным инструментом там, где прямые вычисления невозможны или громоздки.

• Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если $h$ дифференцируема на $(a, b)$ и достигает минимума в точке $x_0 \in (a, b)$, то $h'(x_0) = 0$. Условие применимости: $h$ дифференцируема, $x_0$ — внутренняя точка. Когда использовать: для нахождения кандидатов на минимум.

• Признак монотонности. Если $h'(x) > 0$ на $(a, b)$, то $h$ строго возрастает; если $h'(x) < 0$ — строго убывает. Условие применимости: $h$ дифференцируема на $(a, b)$. Когда использовать: чтобы показать, что уравнение $h(x) = 0$ имеет не более одного корня на промежутке.

• Теорема о промежутке знакопостоянства. Если $h$ непрерывна, $h(a) > 0$ и $h(b) < 0$ (или наоборот), то на $(a, b)$ есть хотя бы один корень. В сочетании с монотонностью — ровно один. Условие применимости: $h$ непрерывна, граничные значения имеют разные знаки. Когда использовать: для доказательства существования и подсчёта корней.

• Достаточное условие глобального минимума. Если $h'(x_0) = 0$, $h''(x_0) > 0$ и $h'$ меняет знак с $-$ на $+$ только в $x_0$, то $x_0$ — глобальный минимум. Когда использовать: когда у $h$ одна критическая точка на промежутке.

• Граничный анализ. Если промежуток замкнутый $[a, b]$, минимум достигается либо в критической точке, либо на границе. Условие применимости: $h$ непрерывна на $[a, b]$. Когда использовать: всегда при работе на замкнутом промежутке.

• Построить $h(x) = f(x) - g(x)$ и вычислить $h'(x)$. Это первый автоматический ход при задаче «доказать неравенство».

• Найти критические точки $h'(x) = 0$, исследовать знак $h'$ слева и справа. Построить таблицу знаков $h'$ для понимания монотонности.

• Вычислить $h$ в критических точках и на границах промежутка. Убедиться, что минимальное значение $\geq 0$.

• Для уравнения $f(x) = c$: построить $h(x) = f(x) - c$, исследовать $h'$. Подсчитать число экстремумов, определить их значения относительно 0, вывести число корней.

• Использовать поведение на бесконечности. Если $h(x) \to +\infty$ при $x \to \pm\infty$ и $h$ имеет один минимум, то знак минимума определяет число корней уравнения $h = 0$.

• Проверить граничные случаи. Если промежуток полуоткрытый, например $(0, +\infty)$, — вычислить $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ и $\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Докажите неравенство $f(x) \geq g(x)$ для всех $x \in \ldots$» — с функциями, которые содержат $e^x$, $\ln x$, тригонометрию или степени.
- «Сколько корней имеет уравнение $\ldots = 0$?» или «Найдите все $x$, при которых $f(x) = c$».
- «Докажите, что уравнение имеет единственное решение».
- «При каких $a$ уравнение имеет ровно $k$ корней?»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Неравенство содержит трансцендентные функции ($e^x$, $\ln x$, $\sin x$), которые нельзя «вынести» алгебрически.
- Уравнение не решается в явном виде — нет рациональных корней, нет стандартных формул.
- Выражение $f(x) - g(x)$ имеет чёткую алгебраическую форму, которую легко дифференцировать.
- Функция определена на промежутке с естественными границами ($x > 0$, $x \in [0, \pi]$).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать, что функция не принимает значений ниже некоторой константы.
- Установить количество решений уравнения или неравенства.
- Доказать единственность решения.
- Найти минимум или максимум функции для вывода неравенства.

Задача 1. Доказательство неравенства $e^x \geq 1 + x$

Докажите, что $e^x \geq 1 + x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Источник: классическое неравенство, тренировочная задача (входит в стандартный инструментарий ВсОШ и Физтех).

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу?* Нужно доказать, что одна функция ($e^x$) всегда не меньше другой ($1+x$). Обе функции определены на всей прямой.$2. *$Какой триггер сработал? «Докажите неравенство» + трансцендентная функция $e^x$ и линейная $1+x$ — прямое алгебраическое сравнение невозможно. Именно это — сигнал к методу вспомогательной функции.$3. *$Первый ход? Введу $h(x) = e^x - (1 + x) = e^x - 1 - x$. Мне нужно доказать, что $h(x) \geq 0$ для всех $x$.$4. *$Что делать с $h$? Найду производную: $h'(x) = e^x - 1$. Исследую знак: $h'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. При $x < 0$: $e^x < 1$, значит $h'(x) < 0$ — $h$ убывает. При $x > 0$: $e^x > 1$, значит $h'(x) > 0$ — $h$ возрастает. Значит, $x = 0$ — это глобальный минимум $h$.$5. *$Ключевая идея:* $h(0) = e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 - 0 = 0$. Минимум равен 0, значит $h(x) \geq 0$ для всех $x$.

Решение:

Введём $h(x) = e^x - 1 - x$. Нам нужно доказать, что $h(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную:$h'(x) = e^x - 1.$

Исследуем знак $h'(x)$:
- При $x < 0$: $e^x < e^0 = 1$, поэтому $h'(x) < 0$ — функция $h$ убывает.
- При $x = 0$: $h'(0) = 0$ — критическая точка.
- При $x > 0$: $e^x > 1$, поэтому $h'(x) > 0$ — функция $h$ возрастает.

Таким образом, $h$ убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$, то есть $x = 0$ — точка глобального минимума.

Вычислим значение в минимуме:$h(0) = e^0 - 1 - 0 = 0.$

Следовательно, $h(x) \geq h(0) = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $e^x - 1 - x \geq 0$, что и есть $e^x \geq 1 + x$. $\square$

Равенство достигается только при $x = 0$.

Ответ: Неравенство доказано, равенство при $x = 0$.

Что в этой задаче было главным для понимания метода: Шаг «ввести $h = f - g$ и искать минимум» — это не алгебрическое преобразование, а переформулировка: «$f \geq g$ везде» равносильно «$\min(f-g) \geq 0$». Производная позволяет найти этот минимум точно, не решая трансцендентное уравнение.

Задача 2. Количество корней уравнения $x^3 - 3x + 1 = 0$

Сколько действительных корней имеет уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0$?

Источник: тренировочная задача (классический пример для метода исследования функции).

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу?* Кубическое уравнение. Попробую рациональные корни: $\pm 1$ — $1 - 3 + 1 = -1 \neq 0$, $-1 + 3 + 1 = 3 \neq 0$. Рациональных корней нет. Формулу Кардано применять не хочется — сложно.$2. *$Триггер: «Сколько корней?» + уравнение не решается явно. Значит, нужно исследовать функцию $h(x) = x^3 - 3x + 1$ с помощью производной.$3. *$Первый ход: $h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.$4. *$Монотонность: При $x < -1$: $h'(x) > 0$ (возрастание). При $-1 < x < 1$: $h'(x) < 0$ (убывание). При $x > 1$: $h'(x) > 0$ (возрастание). Значит, $x = -1$ — локальный максимум, $x = 1$ — локальный минимум.$5. *$Значения в экстремумах: $h(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$. $h(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$.$6. *$Поведение на бесконечности: $h(x) \to -\infty$ при $x \to -\infty$, $h(x) \to +\infty$ при $x \to +\infty$.$7. *$Вывод о корнях: Функция $h$ возрастает от $-\infty$ до $h(-1) = 3 > 0$ → один корень на $(-\infty, -1)$. Затем убывает от $3$ до $h(1) = -1 < 0$ → один корень на $(-1, 1)$. Затем возрастает от $-1$ до $+\infty$ → один корень на $(1, +\infty)$. Итого: три корня*.

Решение:

Обозначим $h(x) = x^3 - 3x + 1$. Найдём производную:$h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).$

Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Таблица знаков $h'(x)$:

Значения в критических точках:$$h(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0, \quad h(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0.$$

Поведение на бесконечности:$$\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty.$$

Анализ знаков $h(x)$:
- На $(-\infty, -1)$: $h$ возрастает от $-\infty$ до $3$. По теореме о промежутке знакопостоянства — ровно один корень $x_1 \in (-\infty, -1)$ (функция строго монотонна).
- На $(-1, 1)$: $h$ убывает от $3$ до $-1$. Один переход через ноль — ровно один корень $x_2 \in (-1, 1)$.
- На $(1, +\infty)$: $h$ возрастает от $-1$ до $+\infty$. Один переход через ноль — ровно один корень $x_3 \in (1, +\infty)$.

Ответ: Уравнение имеет три действительных корня.

Что в этой задаче было главным для понимания метода: Производная дала полную картину поведения $h(x)$: где растёт, где убывает, какие значения принимает в экстремумах. Сравнив экстремальные значения с нулём и зная поведение на бесконечности, мы без явного вычисления корней точно подсчитали их количество.

• Ошибка: построить $h = f - g$, но забыть проверить граничные значения промежутка. → Почему неверно: минимум может достигаться не в критической точке, а на границе замкнутого промежутка. → Как избежать: всегда вычислять $h$ на границах и сравнивать с критическими точками.

• Ошибка: найти один критический минимум и заключить, что он глобальный, не проверив $h'$ на всём промежутке. → Почему неверно: функция может иметь несколько локальных минимумов, и глобальный — не обязательно тот, что нашли первым. → Как избежать: построить полную таблицу знаков $h'$ и выписать все критические точки.

• Ошибка: при подсчёте корней уравнения $h(x) = 0$ считать число критических точек, а не число «переходов через ноль». → Почему неверно: критическая точка — это экстремум, а не корень. Корень — там, где $h$ меняет знак. Если $h(-1) = 3 > 0$ и $h(1) = -1 < 0$, то между ними ровно один корень, а не два. → Как избежать: явно сравнивать значения $h$ в критических точках с нулём и рисовать эскиз графика.

• Ошибка: забыть проверить поведение при $x \to \pm\infty$ (или $x \to 0^+$ для полуоси). → Почему неверно: без этой информации неясно, сколько корней на «бесконечных» ветках. → Как избежать: в начале решения записать $\lim_{x \to \pm\infty} h(x)$.

• Ошибка: использовать метод для доказательства неравенства, когда $h(x_0) = 0$ в единственной точке и считать это «нарушением». → Почему неверно: $h(x) \geq 0$ и $h(x_0) = 0$ — это совместно. Нестрогое неравенство допускает равенство. → Как избежать: различать строгое ($h > 0$ везде, равенство невозможно) и нестрогое ($h \geq 0$) неравенства и отдельно указывать, при каких $x$ достигается равенство.