H3 Интегралы и площади

Метод состоит в том, что интеграл используется как инструмент вычисления площади (геометрический смысл) и как аналитический инструмент для сравнения сумм, доказательства неравенств и нахождения точных значений.

В олимпиадном контексте интеграл появляется в трёх ролях:
1. Вычислительная: найти площадь фигуры, ограниченной несколькими кривыми.
2. Оценочная: $\int_a^b f(x)\,dx$ оценивается через суммы Римана или геометрически.
3. Доказательная: неравенство доказывается интегрированием известного неравенства.

Интуиция: интеграл — это «бесконечная сумма» тонких прямоугольников. Если каждый прямоугольник имеет неотрицательную высоту, площадь неотрицательна. Это геометрически очевидно, но именно на этой очевидности строятся многие доказательства.

Особая олимпиадная техника: оценивать суммы через интеграл. Например, $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ оценивается как $\int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1)$, что даёт нижнюю оценку через геометрию.

• Формула Ньютона-Лейбница. Если $F'(x) = f(x)$ и $f$ интегрируема на $[a,b]$: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Условие: $F$ — первообразная $f$. Когда использовать: вычисление определённого интеграла.

• Интеграл как площадь. $\int_a^b f(x)\,dx$ = (алгебраическая) площадь между графиком $f$ и осью $Ox$ на $[a,b]$. Когда использовать: для вычисления площадей и интерпретации интеграла.

• Оценка интеграла через суммы Дарбу. Если $m \leq f(x) \leq M$ на $[a,b]$: $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$. Когда использовать: приближённые оценки и доказательства неравенств.

• Неравенство для интегралов. Если $f(x) \leq g(x)$ на $[a,b]$: $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$. Когда использовать: интегрирование неравенства по отрезку.

• Интегрально-суммовые оценки. Для убывающей $f$: $\int_1^{n+1} f(x)\,dx \leq \sum_{k=1}^n f(k) \leq f(1) + \int_1^n f(x)\,dx$. Когда использовать: оценка частичных сумм рядов.

• Геометрическая интерпретация площади: изобрази фигуру, разбей на части, вычитай площади более простых фигур.
• Правило замены переменной: для $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ замени $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$.
• Интегрирование по частям: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$; выбери $u$ как «сложную» часть.
• Оценка суммы через интеграл: для $\sum_{k=1}^n f(k)$ нарисуй ступенчатую фигуру и сравни с $\int f$.
• Доказательство неравенства интегрированием: если знаешь, что $g(x) \leq h(x)$, проинтегрируй обе части по $[a,b]$.
• Вычисление площади между кривыми: $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$; найди точки пересечения кривых сначала.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$».
- «Вычислите $\int_a^b f(x)\,dx$».
- «Оцените сумму $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ сверху и снизу».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Фигура задана уравнениями кривых; нужно найти её площадь.
- Сумма выглядит как интегральная сумма (шаг $1/n$, $n \to \infty$).
- Неравенство между суммой и интегралом.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Точное вычисление площади или интеграла.
- Оценка суммы через интеграл.
- Доказательство неравенства через монотонность интеграла.

Задача 1. Площадь между параболой и прямой

Условие: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$.

Источник: Физтех, вступительный (стандартный тип)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу: площадь между двумя кривыми. Нужно найти точки пересечения и проинтегрировать разность.$2. *$Пересечения: $x^2 = 2x \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ и $x=2$.$3. *$Кто выше: при $x \in (0,2)$: $2x - x^2 = x(2-x) > 0$, значит прямая выше параболы.$4. *$Площадь:* $S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx$.

Решение:
Найдём точки пересечения: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0, x = 2$.

На $[0,2]$: $2x \geq x^2$ (прямая выше параболы).

$$S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$$

Ответ: $S = \dfrac{4}{3}$.

Что главное: нужно всегда сначала найти точки пересечения и определить, какая кривая выше; иначе площадь будет вычислена с неправильным знаком.

Задача 2. Оценка суммы через интеграл

Условие: Докажите, что $\ln(n+1) \leq 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \leq 1 + \ln n$ для натурального $n$.

Источник: Высшая проба / Физтех (оценка гармонической суммы)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* сумма $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$. Хочу оценить её через интеграл $\int 1/x\,dx = \ln x$.$2. *$Геометрическая идея: нарисую ступенчатую диаграмму. $f(x) = 1/x$ убывает, значит на $[k, k+1]$: $\frac{1}{k+1} \leq \int_k^{k+1} \frac{dx}{x} \leq \frac{1}{k}$.$3. *$Суммирую по $k=1,\ldots,n$: слева $H_n - 1 + 1/(n+1)$, справа $H_n - 1/n$... нет, надо аккуратнее.$4. *$Суммирую нижнюю оценку: $\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = H_n$ (верхняя ступенька); и $H_n \leq 1 + \ln n$ из верхних оценок.

Решение:
Функция $f(x) = 1/x$ убывает на $[1, n+1]$. На каждом $[k, k+1]$:$$\frac{1}{k+1} \leq \int_k^{k+1}\frac{dx}{x} \leq \frac{1}{k}.$$

Нижняя оценка: суммируем левые неравенства по $k=1,\ldots,n$:$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} \leq \int_1^{n+1}\frac{dx}{x} = \ln(n+1).$$ Но нам нужно $\ln(n+1) \leq H_n$. Суммируем правые по $k=1,\ldots,n$:$$\ln(n+1) = \int_1^{n+1}\frac{dx}{x} = \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1}\frac{dx}{x} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = H_n.$$

Верхняя оценка: суммируем правые по $k=1,\ldots,n-1$ и добавляем первый член:$$H_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \leq 1 + \sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k\frac{dx}{x} = 1 + \int_1^n \frac{dx}{x} = 1 + \ln n.$$

Итого: $\ln(n+1) \leq H_n \leq 1 + \ln n$.

Ответ: неравенства доказаны.

Что главное: геометрия ступенчатой диаграммы немедленно подсказывает, как сравнить сумму и интеграл — нужно только понять, снизу или сверху аппроксимирует ступенька.

• Ошибка: не находят точки пересечения кривых. Сразу интегрируют на $[a,b]$, не проверяя, что кривые не пересекаются внутри. → Почему неверно: если кривые пересекаются, нужно разбивать интеграл. → Как избежать: всегда находи точки пересечения и проверяй знак $f - g$ на каждом подотрезке.
• Ошибка: берут $\int_a^b (f-g)$ с неправильным порядком. → Почему неверно: площадь всегда положительна; нужно $\int |f-g|$ или следить за тем, кто выше. → Как избежать: проверяй знак $f(x) - g(x)$ в средней точке отрезка.
• Ошибка: забывают константу при неопределённом интеграле в задачах с условиями. → Почему неверно: без константы первообразная неполная. → Как избежать: при вычислении определённого интеграла константа не нужна; при неопределённом — всегда пиши $+ C$.
• Ошибка: при оценке сумм через интеграл путают индексы. Суммируют от $k=1$ до $n$, но используют $\int_1^n$ вместо $\int_1^{n+1}$. → Почему неверно: ступенчатая функция имеет $n$ ступенек на $[1, n+1]$. → Как избежать: нарисуй диаграмму.
• Ошибка: не проверяют, что функция непрерывна на области интегрирования. → Почему неверно: разрывные функции требуют несобственного интеграла. → Как избежать: перед интегрированием убедись в непрерывности или обоснуй сходимость несобственного интеграла.