H2 Производные: исследование функций

Метод состоит в том, что производная функции используется для анализа её поведения: нахождения монотонности, экстремумов, выпуклости, а также — особенно важно для олимпиад — для доказательства неравенств через вспомогательную функцию.

Классическая олимпиадная схема: нужно доказать $f(x) \geq g(x)$. Вводим $h(x) = f(x) - g(x)$ и доказываем, что $h(x) \geq 0$. Для этого: находим $h'(x)$, изучаем монотонность $h$, находим минимум, убеждаемся, что минимум $\geq 0$.

Этот приём встречается на Физтехе и Высшей пробе постоянно, хотя в ВсОШ он редок. Он особенно мощен, когда неравенство трудно «угадать» (AM-GM не даёт нужного вида, Йенсен не применить), но вспомогательная функция ведёт себя предсказуемо.

Интуиция: производная — это «скорость изменения». Если $h' > 0$ при $x < x_0$ и $h' < 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ — максимум, а если $h(x_0) \geq 0$, то $h$ везде неотрицательна в нужной области. Производная позволяет заменить глобальный анализ функции на локальный: достаточно найти одну критическую точку.

• Теорема Ферма. Если $x_0$ — точка локального экстремума дифференцируемой функции $f$, то $f'(x_0) = 0$. Условие: $f$ дифференцируема в $x_0$, экстремум внутренний. Когда использовать: нахождение кандидатов на экстремум.

• Признак монотонности. $f'(x) > 0$ на $(a,b)$ $\Leftrightarrow$ $f$ строго возрастает на $[a,b]$. Условие: $f$ дифференцируема. Когда использовать: доказательство неравенств через монотонность.

• Признак выпуклости. $f''(x) \geq 0$ на $(a,b)$ $\Leftrightarrow$ $f$ выпукла вниз (convex) на $[a,b]$. Когда использовать: перед применением Йенсена, метода касательных.

• Теорема Лагранжа (о среднем значении). Если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, то $\exists c \in (a,b)$: $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$. Когда использовать: оценка приращений функции.

• Метод вспомогательной функции. Для доказательства $f(x) \geq g(x)$ при $x \in [a,b]$: введи $h = f - g$, найди $h'$, определи монотонность, найди минимум $h$, проверь $h_{\min} \geq 0$. Когда использовать: неравенства, не поддающиеся AM-GM/Йенсену.

• Ввод вспомогательной функции $h(x) = f(x) - g(x)$: перепиши неравенство как $h(x) \geq 0$ и исследуй $h$.
• Нахождение критических точек: реши $h'(x) = 0$ и проверь знак $h''$ (или таблицу знаков $h'$).
• Анализ монотонности: составь таблицу знаков $h'(x)$ на области определения.
• Проверка граничных значений: при $x \to \pm\infty$ или на концах отрезка вычисли $h(x)$ и убедись, что $h \geq 0$.
• Доказательство неравенства через минимум: если $h$ имеет единственный минимум и $h_{\min} \geq 0$, то $h(x) \geq 0$ всюду.
• Параметрическое дифференцирование: для задач «при каких $k$ неравенство $f(x) \geq k$ выполняется для всех $x$» — это $k \leq \min f(x) = f(x_0)$ при $f'(x_0)=0$.
• Логарифмическое дифференцирование: для функций вида $y = u(x)^{v(x)}$ логарифмируй и дифференцируй $\ln y$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Найдите наибольшее/наименьшее значение функции $f(x)$».
- «Докажите, что $f(x) \geq g(x)$ для всех $x \in [a, b]$».
- «При каких значениях параметра $k$ уравнение $f(x) = k$ имеет единственный корень».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Одна переменная $x$, функция с явной формулой (не многовариантная).
- Неравенство выглядит «гладким»: $e^x \geq 1 + x$, $\ln x \leq x - 1$, $\sin x \leq x$.
- Нет очевидного алгебраического трюка; задача «аналитическая».

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать неравенство функциональными методами (не алгебраически).
- Найти точный минимум или максимум функции на отрезке.
- Исследовать зависимость числа решений от параметра.

Задача 1. Классическое неравенство через вспомогательную функцию

Условие: Докажите, что $e^x \geq 1 + x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Источник: классическое (Физтех, Высшая проба — постоянно как лемма)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* неравенство вида $f(x) \geq g(x)$. Триггер вспомогательной функции.$2. *$Ввожу $h(x) = e^x - 1 - x$: нужно доказать $h(x) \geq 0$.$3. *$Дифференцирую: $h'(x) = e^x - 1$. При $x < 0$: $e^x < 1$, $h' < 0$. При $x > 0$: $h' > 0$. Значит, $x=0$ — минимум.$4. *$Проверяю минимум: $h(0) = 1 - 1 - 0 = 0 \geq 0$. Минимум равен нулю, значит $h(x) \geq 0$ для всех $x$.

Решение:
Определим $h(x) = e^x - 1 - x$. Тогда:$h'(x) = e^x - 1.$

Таблица знаков: $h'(x) < 0$ при $x < 0$, $h'(0) = 0$, $h'(x) > 0$ при $x > 0$. Значит, $h$ убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$, то есть $x=0$ — точка минимума.

Минимальное значение: $h(0) = e^0 - 1 - 0 = 0$.

Следовательно, $h(x) \geq h(0) = 0$, то есть $e^x \geq 1 + x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Равенство при $x = 0$.

Ответ: неравенство доказано.

Что главное: вспомогательная функция + один критерий монотонности = полное доказательство за 4 строки.

Задача 2. Параметрическая задача с исследованием функции

Условие: При каких значениях $a > 0$ уравнение $\ln x = ax$ имеет решение?

Источник: Физтех-олимпиада (вступительный экзамен, типовая задача)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Перепишу:* $\frac{\ln x}{x} = a$. Нужно найти $a$, при которых горизонталь $y=a$ пересекает график $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ при $x > 0$.$2. *$Исследую $f(x) = \frac{\ln x}{x}$: нахожу $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$. Нуль при $x=e$; при $x0$, при $x>e$: $f'<0$.$3. *$Максимум $f(e) = 1/e$. При $x\to 0^+$: $f\to -\infty$; при $x\to+\infty$: $f\to 0^-$.$
4. $Вывод:* уравнение имеет решение при $0 < a \leq 1/e$.

Решение:
Перенесём: $f(x) = \ln x / x = a$.

$f'(x) = \frac{x \cdot (1/x) - \ln x}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}.$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e$. Максимум $f(e) = 1/e$.

При $x\to 0^+$: $\ln x \to -\infty$, $f\to -\infty$.
При $x\to +\infty$: $f\to 0$.

График $f$ возрастает на $(0,e)$ от $-\infty$ до $1/e$, затем убывает к $0^-$. Горизонталь $y = a > 0$ пересекает его тогда и только тогда, когда $a \leq 1/e$.

Ответ: уравнение имеет решение при $0 < a \leq \dfrac{1}{e}$.

Что главное: геометрическая интерпретация (число пересечений горизонтали с графиком) превращает параметрическую задачу в исследование функции.

• Ошибка: не проверяют граничные значения при нахождении максимума/минимума. Находят критическую точку и объявляют её экстремумом, не проверяя границы. → Почему неверно: на замкнутом отрезке экстремум может быть на конце. → Как избежать: всегда вычисляй $f$ на концах отрезка и сравнивай с критическими точками.
• Ошибка: забывают проверить $h_{\min} \geq 0$ после нахождения минимума вспомогательной функции. Утверждают $h(x) \geq 0$, но не подставляют $x_0$. → Почему неверно: минимум может быть отрицательным. → Как избежать: всегда явно подставь $x_0$ и вычисли $h(x_0)$.
• Ошибка: делят на $x$ или $f(x)$, не проверяя знак. При делении на отрицательное неравенство переворачивается. → Почему неверно: изменение направления неравенства. → Как избежать: при делении на переменную явно укажи, что она положительна.
• Ошибка: применяют теорему Ферма вне области дифференцируемости. → Почему неверно: в точках излома производная не определена, а экстремум может быть именно там. → Как избежать: проверяй дифференцируемость в каждой рассматриваемой точке.
• Ошибка: путают «критическая точка» и «точка экстремума». $f'(x_0)=0$ не гарантирует экстремума (например, $f(x)=x^3$ в $x=0$). → Как избежать: проверяй знак $f'$ слева и справа от $x_0$.