H1 Пределы и непрерывность

Метод состоит в том, что задача решается через строгое применение понятий предела функции (или последовательности) и непрерывности, включая работу с неопределённостями $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, а также через ключевые теоремы: теорему Больцано-Коши (о промежуточном значении) и теорему Вейерштрасса (о достижении экстремума).

В олимпиадном контексте пределы нужны не для вычисления производных (это задачи H2), а для доказательства существования: «докажите, что уравнение имеет корень», «докажите, что функция принимает все промежуточные значения», «найдите, к чему стремится выражение».

Интуиция: непрерывная функция — это функция без разрывов, то есть малое изменение аргумента даёт малое изменение значения. Если такая функция на концах отрезка меняет знак, она обязана пройти через нуль — это и есть теорема Больцано-Коши. Это звучит очевидно, но именно эту очевидность мы и эксплуатируем для доказательства существования.

Для олимпиад важны: вычисление пределов через эквивалентности ($\sin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$ при $x \to 0$), замечательные пределы ($\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x = e$), и применение теорем о существовании корней.

• Первый замечательный предел. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Условие: $x$ в радианах. Когда использовать: любое выражение с $\sin x$ при $x\to 0$; заменяй $\sin x \sim x$.

• Второй замечательный предел. $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$, и $\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} = e$. Условие: основание $\to 1$, показатель $\to \infty$. Когда использовать: степенные выражения вида $(1+\alpha(x))^{\beta(x)}$ при $\alpha\to 0$, $\alpha\beta\to c$.

• Теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении). Если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и $f(a) \cdot f(b) < 0$, то $\exists c \in (a,b)$: $f(c)=0$. Условие: непрерывность на отрезке. Когда использовать: доказательство существования корня уравнения $f(x)=0$.

• Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве достигает своего максимума и минимума. Когда использовать: доказательство существования экстремума.

• Эквивалентности при $x \to 0$: $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $e^x - 1 \sim x$, $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$, $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$. Когда использовать: раскрытие неопределённостей $0/0$.

• Замена на эквивалентную функцию: при $x\to 0$ замени $\sin x \to x$, $\ln(1+x) \to x$, $e^x-1 \to x$; упрости дробь.
• Вынесение главного члена: при $x\to\infty$ вынеси наибольшую степень $x$ из числителя и знаменателя.
• Логарифмирование степенных пределов: $\lim (u(x))^{v(x)} = e^{\lim v(x)\ln u(x)}$; вычисляй предел показателя.
• Применение теоремы Больцано-Коши: для доказательства $\exists c: f(c)=k$ — покажи, что $f(a) < k < f(b)$ для некоторых $a < b$, и $f$ непрерывна.
• Сжатая переменная (подстановка $t=1/x$): для пределов при $x\to\infty$ замени $t=1/x$ и перейди к $t\to 0$.
• Оценка сверху и снизу (теорема о двух милиционерах): зажми нужное выражение между двумя функциями, имеющими одинаковый предел.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Найдите $\lim_{x\to a} f(x)$» или «докажите, что предел существует».
- «Докажите, что уравнение $f(x) = 0$ имеет корень на $(a, b)$».
- «Исследуйте поведение функции при $x \to \pm\infty$».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Неопределённость вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ при подстановке.
- Выражение вида $(1+\alpha(x))^{\beta(x)}$ с малым $\alpha$.
- Функция непрерывна на отрезке, требуется доказать свойство, связанное с промежуточными значениями.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Вычислить конкретное числовое значение предела.
- Доказать существование объекта (корня, точки, значения).
- Исследовать асимптотическое поведение.

Задача 1. Вычисление предела с неопределённостью

Условие: Найдите $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$.

Источник: Физтех-олимпиада, вступительный (аналог)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* неопределённость $0/0$ при $x=0$. Нужно раскрыть.$2. *$Какой метод: умножу числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$.$3. *$Что получу: числитель станет $(1+x)-(1-x) = 2x$, и $x$ сократится.$4. *$Или эквивалентности: $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$, $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$, разность $\approx x$, делить на $x$ → предел $= 1$.

Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое:$$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.$$

При $x\to 0$: $\sqrt{1+x}\to 1$ и $\sqrt{1-x}\to 1$, поэтому:$$\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{2}{1+1} = 1.$$

Ответ: предел равен $1$.

Что главное: умножение на сопряжённое — универсальный способ избавиться от иррациональности в числителе и раскрыть неопределённость $0/0$.

Задача 2. Существование корня через теорему Больцано-Коши

Условие: Докажите, что уравнение $x^5 - x - 1 = 0$ имеет корень на отрезке $[1, 2]$.

Источник: Высшая проба (аналог), задача на существование

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу: нужно доказать существование корня непрерывной функции — это классика теоремы Больцано-Коши.$2. *$Что делаю:* проверяю знаки $f(1)$ и $f(2)$.$3. *@@LATEXBLOCK_0_2@@f(1) = 1^5 - 1 - 1 = -1 < 0, \quad f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0.$$

По теореме Больцано-Коши, так как $f$ непрерывна на $[1,2]$ и $f(1) < 0 < f(2)$, существует $c \in (1,2)$ такое, что $f(c) = 0$.

Ответ: уравнение имеет корень на $(1,2)$.

Что главное: всего два числа — $f(1)$ и $f(2)$ — и ссылка на непрерывность. Никакой явной формулы для корня не нужно.

• Ошибка: не проверяют непрерывность перед применением теоремы Больцано-Коши. → Почему неверно: теорема требует непрерывности. → Как избежать: всегда явно указывай, что функция непрерывна, и почему (многочлен, композиция непрерывных и т.д.).
• Ошибка: при раскрытии $0/0$ делят числитель и знаменатель на разные вещи. → Почему неверно: арифметическая ошибка. → Как избежать: умножай обе части на одно и то же (сопряжённое, $x$, и т.д.).
• Ошибка: забывают проверить, что замена эквивалентности применима. Используют $\sin x \sim x$ при $x \to \infty$. → Почему неверно: эквивалентность $\sin x \sim x$ работает только при $x\to 0$. → Как избежать: всегда проверяй, к какому значению стремится $x$.
• Ошибка: в степенных пределах не логарифмируют. Пытаются вычислить $(1+1/x)^x$ «в лоб». → Почему неверно: показатель зависит от $x$, прямая подстановка не работает. → Как избежать: логарифмируй и вычисляй предел показателя.
• Ошибка: утверждают единственность корня без доказательства. → Почему неверно: теорема Больцано-Коши даёт существование, но не единственность. → Как избежать: для единственности нужна монотонность или строгая выпуклость.