G7 Метод касательных, локальные возмущения

Метод состоит в том, что для доказательства неравенства $\sum f(x_i) \geq n \cdot g(\bar{x})$ (или аналогичного) ищется линейная мажоранта или миноранта: функция $\ell(x) = \alpha x + \beta$ такая, что $f(x) \geq \ell(x)$ для всех $x$ в области. Если такая прямая найдена, то $\sum f(x_i) \geq \sum \ell(x_i) = \alpha \sum x_i + n\beta$ — и задача сводится к простой алгебре.

Локальные возмущения («смещение Свами» или mixing variables) — родственная техника: зафиксируй все переменные, кроме двух, и покажи, что «выравнивание» этих двух улучшает (или ухудшает) значение выражения. Повторяя, приходишь к экстремуму при $x_1 = \ldots = x_n$ или на границе.

Интуиция метода касательных: если выпуклая функция $f$ выпукла снизу, то касательная в точке $x_0$ лежит ниже графика: $f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Суммируя по $i$: $\sum f(x_i) \geq n f(x_0) + f'(x_0)(\sum x_i - n x_0)$. Если $\bar{x} = x_0$, то правая часть = $nf(x_0)$.

Это самый мощный метод для сложных олимпиадных неравенств уровня 5, когда Йенсен напрямую неприменим из-за отсутствия глобальной выпуклости, но выпуклость «достаточно хорошая» вблизи оптимальной точки.

• Метод касательной прямой (SOS-lin). Если $f$ дифференцируема и выпукла, то в точке $x_0$: $f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ для всех $x$ в области. Суммируя: $\sum_{i=1}^n f(x_i) \geq nf(x_0) + f'(x_0)(\sum x_i - nx_0)$. Условие: $f$ выпукла и $\sum x_i$ фиксирована. Когда использовать: строим линейную нижнюю оценку функции.

• Метод смещения (Mixing Variables / SOS-mixing). Если при фиксированной сумме $x_1+x_2 = c$ выражение $f(x_1) + f(x_2)$ минимально при $x_1 = x_2 = c/2$, то глобальный минимум суммы $\sum f(x_i)$ достигается при $x_1=\ldots=x_n$. Условие: $f$ выпукла (достаточно$). *$Когда использовать:* доказываем, что равенство — оптимум.

• Лемма о линейном мажоранте. Если $\ell(x) = \alpha x + \beta$ и $f(x) \geq \ell(x)$ для всех $x \in [a,b]$ с равенством при $x = x_0$, то $\sum f(x_i) \geq \alpha \sum x_i + n\beta$. Когда использовать: $\alpha$ и $\beta$ подбираем из условия равенства и условия на сумму.

• Нахождение оптимальной точки $x_0$: из условия задачи (где достигается равенство?) находишь $x_0$; обычно $x_0 = \bar{x} = S/n$.
• Запись касательной в $x_0$: $\ell(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; убеждаешься, что $f(x) \geq \ell(x)$ (из выпуклости или прямой проверки).
• Суммирование: $\sum f(x_i) \geq \sum \ell(x_i) = nf(x_0) + f'(x_0)(\sum x_i - nx_0)$; если $\sum x_i = nx_0$, правая часть $= nf(x_0)$.
• Метод возмущений (пошаговый): зафиксируй $x_3 = \ldots = x_n$; рассмотри $g(t) = f(x_1 + t) + f(x_2 - t)$; если $g$ выпукла, минимум при $t = (x_2 - x_1)/2$.
• Проверка не-глобальной выпуклости: если $f$ выпукла только на части области, касательную строй только в этой части и обрабатывай граничные случаи отдельно.
• Применение к неравенствам типа $f(a)+f(b)+f(c) \geq 3f(1)$ при $abc=1$: логарифмируй замену, строй касательную к $\ln f$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Неравенство вида $\sum f(x_i) \geq C$ или $\leq C$ при фиксированной $\sum x_i$.
- Функция $f$ — тригонометрическая, экспоненциальная, логарифм — то есть не многочлен.
- Йенсен «не работает» напрямую: $f$ не является глобально выпуклой/вогнутой на всей области.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Равенство в неравенстве достигается при конкретном $x_i = x_0 \neq \bar{x}$.
- Задача сложная (difficulty 5), формула выглядит элегантно, но Йенсен не применить напрямую.
- Функция выпукла на части области и вогнута на другой (например, $\sin x$ на $(0, 2\pi)$).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать неравенство уровня IMO/Высшая проба, где стандартные методы не дают результата.
- Найти, что оптимум достигается при «не равных» переменных.
- Доказать неравенство, когда переменные ограничены нетривиально.

Задача 1. Классика метода касательных

Условие: Докажите, что для $a, b, c > 0$ с $a+b+c = 3$:$a^a \cdot b^b \cdot c^c \geq 1.$

Источник: тренировочная (классика метода касательных)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Вижу:* произведение вида $x^x$. Логарифмирую: достаточно доказать $a\ln a + b\ln b + c\ln c \geq 0$.$2. *$Функция $f(x) = x\ln x$: $f''(x) = 1/x > 0$ — выпукла вниз! Но Йенсен даст $\sum f(x_i) \geq 3 f(1) = 0$. Это то что надо!$3. *$Прямо применяю Йенсена: $f$ выпукла, $\bar{x} = 1$, поэтому $a\ln a + b\ln b + c\ln c \geq 3\cdot 1 \cdot \ln 1 = 0$.$4. *$Можно и через касательную: $f(x) \geq f(1) + f'(1)(x-1) = 0 + 1 \cdot (x-1) = x-1$, то есть $x\ln x \geq x-1$. Тогда $\sum a\ln a \geq \sum(a-1) = (a+b+c) - 3 = 0$.

Решение:
Логарифмируя, сводим к: $a\ln a + b\ln b + c\ln c \geq 0$.

Функция $f(x) = x\ln x$ выпукла ($f''(x) = 1/x > 0$). По неравенству касательной в точке $x_0=1$:$f(x) \geq f(1) + f'(1)(x-1) = x - 1.$

Суммируя:$$a\ln a + b\ln b + c\ln c \geq (a-1)+(b-1)+(c-1) = (a+b+c)-3 = 0.$$

Следовательно, $a^a b^b c^c \geq 1$. Равенство при $a=b=c=1$.

Ответ: неравенство доказано.

Что главное: касательная к $x\ln x$ в точке $x_0=1$ даёт элегантную линейную оценку $x\ln x \geq x-1$, которую суммировать тривиально.

Задача 2. Локальные возмущения (mixing variables)

Условие: Для $x_1, \ldots, x_n \geq 0$ с $\sum x_i = 1$ докажите:$\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq \frac{1}{n}.$

Источник: тренировочная (Физтех-олимпиада, аналог QM-AM)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Вижу:* сумма квадратов при фиксированной сумме. Можно применить Йенсен ($f=x^2$ выпукла), но попробую метод возмущений для понимания.$2. *$Метод возмущений: пусть $x_1 \neq x_2$. Рассмотрю $g(t) = (x_1+t)^2 + (x_2-t)^2$. Тогда $g'(t) = 2(x_1+t) - 2(x_2-t) = 2(x_1-x_2+2t)$; при $t=0$: $g'(0) = 2(x_1-x_2)$. Функция выпукла по $t$, минимум при $t = (x_2-x_1)/2$, то есть при $x_1=x_2$.$3. *$Вывод:* выравнивая любые два неравных $x_i$, уменьшаем сумму квадратов. Минимум при $x_i = 1/n$.

Решение:
Метод возмущений: рассмотрим $x_1 \neq x_2$ и заменим $(x_1, x_2) \to \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1+x_2}{2}\right)$. Изменение суммы:$$\Delta = 2\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 - x_1^2 - x_2^2 = -\frac{(x_1-x_2)^2}{2} \leq 0.$$

Значит, операция выравнивания уменьшает $\sum x_i^2$. Повторяя, приходим к минимуму при $x_1=\ldots=x_n = 1/n$:$$\sum x_i^2 \geq n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}.$$

Ответ: $\sum x_i^2 \geq \frac{1}{n}$, минимум достигается при $x_i = 1/n$.

Что главное: метод возмущений показывает, что «выравнивание» двух переменных уменьшает (или увеличивает) функцию, что позволяет находить экстремум без дифференцирования многих переменных.

• Ошибка: строят касательную в неправильной точке $x_0$. → Почему неверно: линейная оценка верна только если касательная строится в точке равенства. → Как избежать: сначала найди, при каких $x_i$ достигается равенство в задаче; именно там и строй касательную.
• Ошибка: не проверяют, что касательная является именно нижней (а не верхней) оценкой. → Почему неверно: для вогнутой функции касательная — верхняя оценка. → Как избежать: вычисли $f''(x)$ и убедись в нужном направлении.
• Ошибка: при методе возмущений не проверяют знак изменения. Пишут «выравнивание улучшает», не вычисляя $\Delta$. → Почему неверно: для некоторых функций выравнивание ухудшает. → Как избежать: всегда вычисляй $\Delta$ явно и проверяй знак.
• Ошибка: применяют возмущения к задаче без компактной области. → Почему неверно: без компактности минимум может не достигаться вообще. → Как избежать: убедись, что область замкнута и ограничена, или используй пределы при граничных значениях.
• Ошибка: путают метод касательных с Йенсеном. → Почему неверно: Йенсен требует глобальной выпуклости; метод касательных — только локальной в точке $x_0$. → Как избежать: если $f$ не глобально выпукла — строй касательную и проверяй оценку аналитически.