G5 SOS-расширения

Метод состоит в том, что неравенство переписывается в виде суммы квадратов (SOS — Sum Of Squares) или суммы неотрицательных слагаемых вида $(\text{нечто})^2 \cdot (\text{неотрицательный множитель})$, что немедленно даёт нужную оценку.

Идея метода: любое однородное симметричное неравенство в 3 переменных при некотором раскрытии скобок сводится к тому, что «всё лишнее» оказывается суммой квадратов. SOS — это не просто трюк, а систематический алгоритм: выпиши разность левой и правой части, попробуй факторизовать через $(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(a-c)^2$.

По аналогии: когда ты знаешь, что ответ «больше нуля», самый надёжный способ это доказать — явно разложить в сумму положительных слагаемых. SOS — это именно такой «конструктивный» подход: вместо абстрактного «применю Йенсена» ты буквально показываешь, из каких неотрицательных кусков состоит разность.

Метод особенно мощен для симметричных и циклических неравенств степени 2–4 от трёх переменных. На международных олимпиадах SOS используется для доказательства сложных неравенств, которые не поддаются прямому AM-GM или Йенсену.

• Базовое SOS-тождество. Для $a, b, c \in \mathbb{R}$:$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\bigl[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\bigr] \geq 0.$$ Условие: всегда. Когда использовать: в 90% симметричных неравенств степени 2.

• SOS-разложение для Шура степени 1. Для $a, b, c \geq 0$:$$a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \geq 0.$$ Это неравенство Шура; его SOS-форма: выражение раскладывается через $(a-b)^2(a+b-c)$ и циклические аналоги. Когда использовать: степень 3 с симметрией.

• Общий SOS-шаблон. Для симметричного выражения $P(a,b,c)$:$$P = A(a-b)^2 + B(b-c)^2 + C(c-a)^2, \quad A,B,C \geq 0.$$ Условие: $P$ — симметричная форма чётной степени. Когда использовать: выражай $P$ через квадраты разностей и проверяй знаки коэффициентов.

• SOS с переменными коэффициентами (pqr-метод). Перейди к $p = a+b+c$, $q = ab+bc+ca$, $r = abc$; SOS-коэффициенты тоже выражаются через $p, q, r$. Когда использовать: когда коэффициенты перед $(a-b)^2$ зависят от $c$.

• Собери разность $L - P \geq 0$ (или $P - R$): перенеси всё в одну сторону и раскрой скобки до однородной формы.
• Выдели $(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(c-a)^2$: ищи в выражении слагаемые вида $a^2 - 2ab + b^2$ и группируй их.
• Запиши коэффициенты перед квадратами разностей: $P = S_{ab}(a-b)^2 + S_{bc}(b-c)^2 + S_{ca}(c-a)^2$; вычисли $S_{ab}, S_{bc}, S_{ca}$ и проверь их неотрицательность.
• Если коэффициенты зависят от переменных: проверь знак $S_{ab}(a,b,c)$ при всевозможных соотношениях между $a, b, c$ (WLOG $a \geq b \geq c \geq 0$).
• Используй вспомогательное тождество: $ab + bc + ca = \frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2}$ для преобразований.
• Проверь граничный случай: в точке равенства (обычно $a=b=c$ или $a=b, c=0$) все SOS-слагаемые обнуляются — это служит самопроверкой разложения.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Неравенство с тремя (реже четырьмя) переменными, симметричное или циклическое.
- Степень 2, 3 или 4 по каждой переменной.
- Нет явного «удобного» неравенства (AM-GM даёт не то, Йенсен не подходит).

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Выражение однородно и симметрично: $P(a,b,c) = P(b,a,c) = P(b,c,a)$.
- Разность левой и правой части обращается в нуль при $a=b=c$ (или при $a=b, c=0$).
- Задача сформулирована как «доказать, что $\geq 0$»; нет числовых параметров.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать неравенство без нахождения оптимума (задача на доказательство, не на нахождение экстремума).
- Найти все случаи равенства.
- Доказать неравенство «в общем виде» без предположений о порядке переменных.

Задача 1. Классическое SOS-неравенство

Условие: Докажите, что для положительных $a, b, c$ выполняется:$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca.$

Источник: классическое, ВсОШ-аналог

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* три переменные, симметричное неравенство степени 2. Триггер $SOS.
2. $Что хочу:* $a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca \geq 0$. Перенесу всё влево.$3. *$Ищу квадраты разностей: вспоминаю тождество $a^2+b^2-2ab = (a-b)^2$. Попробую записать левую часть через $(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(c-a)^2$.$4. *$Ключевая идея: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$.

Решение:
Заметим тождество:$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Поскольку левая часть — сумма квадратов, она $\geq 0$. Следовательно:$$a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} \geq 0,$$ откуда $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.

Равенство при $a=b=c$.

Ответ: неравенство доказано.

Что главное: SOS превращает неочевидное неравенство в тождество плюс «$\geq 0$», что немедленно завершает доказательство.

Задача 2. SOS с переменными коэффициентами

Условие: Докажите, что для $a, b, c \geq 0$:$$a^3 + b^3 + c^3 + abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a).$$

Источник: Турнир городов, аналог

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу: симметричное однородное неравенство степени 3. SOS-кандидат.$2. *$Перенесу всё влево: $P = a^3+b^3+c^3+abc - ab(a+b) - bc(b+c) - ca(c+a)$. Раскрою.$3. *$Раскрываю: $P = a^3+b^3+c^3+abc - a^2b - ab^2 - b^2c - bc^2 - c^2a - ca^2$.$4. *$Группирую:* замечаю, что $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 = (a-b)^2(a+b)$. Аналогично для других пар.

Решение:
Раскроем $P$:$$P = a^3+b^3+c^3+abc - a^2b - ab^2 - b^2c - bc^2 - c^2a - ca^2.$$

Группируем по парам (WLOG — пробуем SOS-шаблон):$$P = \frac{1}{2}\bigl[(a-b)^2(a+b-c) + (b-c)^2(b+c-a) + (c-a)^2(c+a-b)\bigr] + \frac{abc}{1}.$$

Точнее, применим неравенство Шура ($t=1$): $\sum a(a-b)(a-c) \geq 0$. Раскрывая: $a^3+b^3+c^3+abc \geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$, что совпадает с нашим $P \geq 0$.

Для явного SOS-разложения: при $a \geq b \geq c \geq 0$ коэффициент $(a+b-c) \geq 0$; коэффициент $(b+c-a)$ может быть отрицательным, но слагаемое с ним $(b-c)^2(b+c-a)$ компенсируется через $abc \geq 0$. Строгое разложение даётся через pqr-метод.

Равенство при $a=b=c$ или при $c=0, a=b$.

Ответ: неравенство доказано.

Что главное: SOS степени 3 требует уже более тонкой группировки, и иногда удобнее сослаться на неравенство Шура как готовый инструмент.

• Ошибка: не проверяют знаки SOS-коэффициентов. Записывают $P = A(a-b)^2 + \ldots$ и считают готово, не проверив, что $A \geq 0$. → Почему неверно: если $A$ отрицательно, сумма может быть отрицательной. → Как избежать: явно проверяй знак каждого коэффициента во всей допустимой области.
• Ошибка: раскладывают несимметричное неравенство «в лоб». Применяют SOS к выражению, которое не является симметричным, и получают лишние члены. → Почему неверно: SOS-шаблон рассчитан на симметрические/циклические выражения. → Как избежать: сначала проверь симметрию, при необходимости WLOG упорядочи переменные.
• Ошибка: забывают про случай равенства. Указывают SOS-разложение, не проверяя, когда все квадраты обнуляются. → Почему неверно: случай равенства — часть условия задачи. → Как избежать: в конце подставь $a=b=c$ или другие кандидатуры равенства.
• Ошибка: пытаются SOS без однородности. Применяют к выражению вида $a^2 + b + c \geq \ldots$, смешивая степени. → Почему неверно: SOS работает на однородных формах; разные степени не группируются в квадраты. → Как избежать: при необходимости нормируй ($a+b+c=1$) или приводи к однородному виду.
• Ошибка: считают, что SOS всегда даёт решение быстро. Тратят 20 минут на поиск разложения, которого нет в простом виде. → Почему неверно: для некоторых неравенств SOS-разложение существует, но очень сложное; быстрее использовать другой метод. → Как избежать: если за 5 минут разложение не нашёл — переключайся на Йенсен, Шур или pqr.