G4 Йенсен (выпуклые функции)

Идея метода: если функция выпукла вниз (куполообразная), то среднее значений функции в нескольких точках не превышает значения функции в средней точке — «усреднять аргумент выгоднее, чем усреднять результат».

Формально, неравенство Йенсена утверждает: для выпуклой вниз функции $f$ и произвольных $x_1, \ldots, x_n$ выполняется$$f\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \geq \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}.$$ Для вогнутой функции неравенство переворачивается.

Интуиция: представь, что $f(x)$ — это «высота горы» на уровне $x$. Если рельеф куполообразный (выпуклый вниз), то высота горы в среднем месте выше, чем среднее высот по разным местам. Именно это и говорит Йенсен: «центральная» точка всегда «выше» среднего.

Метод особенно мощен, когда в задаче фигурирует сумма значений одной и той же функции от нескольких переменных при фиксированной сумме (или произведении) самих переменных. Это классический сценарий экстремальных задач олимпиадного типа.

• Неравенство Йенсена (основная форма). Если $f$ выпукла вниз на $[a,b]$ (то есть $f''(x) \geq 0$), то для любых $x_1,\ldots,x_n \in [a,b]$:$$f\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \geq \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}.$$ Условие применимости: $f$ дважды дифференцируема, $f'' \geq 0$ на области значений переменных. Когда использовать: сумма $f(x_i)$ ограничивается снизу или сверху.

• Взвешенная форма Йенсена. При весах $\lambda_i > 0$, $\sum \lambda_i = 1$:$$f\!\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \geq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).$$ Условие: $f$ выпукла вниз. Когда использовать: переменные входят с разными весами (вероятности, площади, длины).

• Критерий выпуклости через вторую производную. $f$ выпукла вниз $\Leftrightarrow$ $f''(x) \geq 0$ для всех $x$ в области. Когда использовать: перед применением Йенсена проверь знак $f''$.

• Критерий выпуклости через хорду. $f$ выпукла вниз $\Leftrightarrow$ для любых $x < y$ и $t \in [0,1]$: $f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$. Когда использовать: если производная не очевидна.

• Следствие: AM-GM как частный случай. $-\ln x$ выпукла вниз $\Rightarrow$ $-\ln\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \leq \frac{-\ln x_1-\cdots-\ln x_n}{n}$, откуда $\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$. Когда использовать: демонстрирует общность метода.

• Определить выпуклость функции: вычисли $f''(x)$ и убедись, что $f'' \geq 0$ (или $\leq 0$ для вогнутой). Если $f'' > 0$ — применяй Йенсена.
• Записать сумму как среднее: если нужно оценить $\sum f(x_i)$, перепиши как $n \cdot \frac{1}{n}\sum f(x_i)$ и примени Йенсена: $\geq n f\!\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)$.
• Зафиксировать ограничение: при условии $x_1+\cdots+x_n = S$ среднее $\bar{x} = S/n$ фиксировано, поэтому $\sum f(x_i) \geq n f(S/n)$ — нижняя оценка достигается при $x_i = S/n$.
• Проверить случай равенства: равенство в Йенсене достигается тогда и только тогда, когда все $x_i$ равны (для строго выпуклой $f$). Проверь, что это совместимо с ограничениями задачи.
• Перейти к вогнутой функции: если нужна верхняя оценка, ищи вогнутую (concave) функцию ($f'' \leq 0$) и применяй Йенсена в обратную сторону.
• Использовать подстановку для нормировки: при условии $\sum x_i = 1$ (вероятности, доли) сразу применяй взвешенную форму с $\lambda_i = x_i$.
• Логарифмическая подстановка для произведений: при условии $\prod x_i = C$ перейди к логарифмам, чтобы получить $\sum \ln x_i = \ln C$, затем применяй Йенсена к нужной функции.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В задаче фигурирует сумма вида $\sin x_1 + \sin x_2 + \cdots$ или $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \cdots$ (сумма значений одной функции).
- Дано ограничение типа $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \text{const}$ или $x_1 x_2 \cdots x_n = \text{const}$.
- Требуется найти минимум/максимум суммы $\sum f(x_i)$ при фиксированной $\sum x_i$.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Все слагаемые — значения одной и той же функции от разных переменных: $f(a) + f(b) + f(c)$.
- Функция $f$ «явно выпуклая»: $x^2$, $e^x$, $\frac{1}{x}$, $-\ln x$, $x \ln x$, $|x|$.
- Несколько переменных связаны одним симметричным условием (сумма, произведение, среднее).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать неравенство вида $f(a) + f(b) + f(c) \geq 3 f\!\left(\frac{a+b+c}{3}\right)$ или аналог.
- Найти минимум/максимум выражения при ограничениях на сумму или произведение переменных.
- Показать, что оптимум достигается при равенстве всех переменных.

Задача 1. Неравенство с тригонометрическими функциями

Условие: Докажите, что для любых углов $A, B, C > 0$ таких, что $A + B + C = \pi$, выполняется:$$\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Источник: тренировочная (классическое олимпиадное неравенство для треугольника)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* три слагаемых — значения одной функции $\sin$ от разных аргументов при фиксированной сумме $A + B + C = \pi$. Это прямой триггер Йенсена.$2. *$Какой метод: хочу оценить $\sum \sin A_i$ сверху. Если $\sin$ вогнута (то есть $-\sin$ выпукла), Йенсен даёт верхнюю оценку.$3. *$Первый ход: проверяю выпуклость. $f(x) = \sin x$, $f''(x) = -\sin x < 0$ при $x \in (0, \pi)$. Значит, $\sin$ вогнута на $(0,\pi)$, и Йенсен даёт: $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \leq \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)$.$4. *$Ключевая идея: $\frac{A+B+C}{3} = \frac{\pi}{3}$, и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:
Функция $f(x) = \sin x$ дважды дифференцируема, $f''(x) = -\sin x \leq 0$ при $x \in (0, \pi)$. Следовательно, $\sin$ вогнута на $(0, \pi)$.

По неравенству Йенсена для вогнутой функции:$$\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \leq \sin\!\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Умножая на 3:$$\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Равенство достигается при $A = B = C = \frac{\pi}{3}$ (равносторонний треугольник).

Ответ: неравенство доказано, максимум $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ достигается при $A=B=C=60°$.

Что главное: триггер — сумма значений одной функции при фиксированной сумме аргументов. Вся работа — проверить знак $f''$ и написать одну строку.

Задача 2. Минимум суммы обратных при фиксированной сумме

Условие: Положительные числа $x_1, x_2, x_3$ удовлетворяют условию $x_1 + x_2 + x_3 = 1$. Найдите минимум выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}$.

Источник: тренировочная (Физтех-олимпиада, аналог)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу:* сумма $f(x_i) = \frac{1}{x_i}$ при $\sum x_i = 1$. Это сумма значений одной функции — триггер Йенсена.$2. *$Проверяю выпуклость: $f(x) = 1/x$, $f''(x) = 2/x^3 > 0$ при $x > 0$. Функция выпукла вниз$.
3. $Йенсен даёт нижнюю оценку:* $\frac{1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3}{3} \geq \frac{1}{(x_1+x_2+x_3)/3} = \frac{1}{1/3} = 3$.$4. *$Минимум: $\sum 1/x_i \geq 9$. Проверяю равенство: $x_1 = x_2 = x_3 = 1/3$ — совместимо с условием.

Решение:
Функция $f(x) = 1/x$ выпукла вниз при $x > 0$ (так как $f''(x) = 2x^{-3} > 0$). По Йенсену:$$\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}}{3} \geq \frac{1}{\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$$

Следовательно, $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3} \geq 9$.

Минимум 9 достигается при $x_1 = x_2 = x_3 = \tfrac{1}{3}$.

Ответ: минимум равен $9$.

Что главное: Йенсен мгновенно даёт ответ, а равенство в Йенсене — это автоматическая подсказка на точку экстремума.

• Ошибка: не проверяют знак $f''$. Применяют Йенсен, не убедившись в выпуклости/вогнутости функции. → Почему неверно: для вогнутой функции неравенство переворачивается, и «доказательство» окажется ложным. → Как избежать: всегда первым делом вычисляй $f''$ и указывай его знак.
• Ошибка: путают направление неравенства. Для выпуклой вниз ($f'' \geq 0$) пишут $\sum f(x_i) \leq n f(\bar{x})$ вместо $\geq$. → Почему неверно: выпуклость даёт нижнюю оценку сумме. → Как избежать: запомни мнемонику — «выпуклая функция снизу поджимает среднее».
• Ошибка: применяют Йенсен вне области определения. Например, к $\ln x$ при $x$, которые могут обращаться в нуль. → Почему неверно: функция недифференцируема/неопределена. → Как избежать: явно указывай область и проверяй, что все $x_i$ лежат в ней.
• Ошибка: не проверяют достижимость равенства. Объявляют минимум, не проверив, что $x_i = \bar{x}$ совместимо со всеми ограничениями задачи. → Почему неверно: условие задачи может требовать $x_i$ различными или целыми, и равенство недостижимо. → Как избежать: после получения оценки подставь $x_i = \bar{x}$ и проверь все условия.
• Ошибка: используют Йенсен для функции нескольких переменных. Например, для $f(x,y) = xy$ пытаются применить одномерный Йенсен. → Почему неверно: Йенсен работает только для функций одной переменной. → Как избежать: для многомерных задач используй AM-GM, Шур или SOS.