G2 Коши-Буняковский, перегруппировки

Метод состоит в применении неравенства Коши-Буняковского-Шварца (КБШ) и неравенства о перегруппировках (или неравенства Чебышёва) для доказательства нетривиальных неравенств со суммами дробей, квадратов и произведений.

Неравенство КБШ говорит: скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. В алгебраической форме: $(\sum a_i b_i)^2 \leq (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$. Это «нелинейная» связь между двумя наборами чисел.

Главная сила КБШ в «обратной форме» (форма Энгеля/Седракяна):$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots+b_n},$$ которая позволяет оценивать суммы дробей — очень частый тип олимпиадных задач.

Неравенство о перегруппировках (Chebyshev rearrangement): если $a_1 \geq \cdots \geq a_n$ и $b_1 \geq \cdots \geq b_n$, то сумма $\sum a_i b_i$ максимальна при одинаковой упорядоченности и минимальна при противоположной. Интуиция: «большое умножай на большое».

Оба инструмента незаменимы, когда в задаче присутствуют суммы вида $\sum \frac{f(a_i)}{g(a_i)}$ или нужно связать два разных набора чисел.

• КБШ (классическая форма): $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$. Равенство при $(a_1,\ldots,a_n) \parallel (b_1,\ldots,b_n)$ (пропорциональны$). *$Когда использовать:* оценить скалярное произведение; перейти от суммы произведений к сумме квадратов.

• КБШ в форме Энгеля (Седракяна): $\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i^2}{b_i} \geq \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$ при $b_i > 0$. Равенство при $a_1/b_1 = a_2/b_2 = \cdots = a_n/b_n$. Когда использовать: суммы вида $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$.

• Неравенство Чебышёва: если $a_1\geq\cdots\geq a_n$ и $b_1\geq\cdots\geq b_n$, то $n\sum a_i b_i \geq (\sum a_i)(\sum b_i)$. Когда использовать: произведения двух упорядоченных наборов.

• Неравенство о перегруппировках: максимум $\sum a_i b_{\sigma(i)}$ достигается при одинаковой сортировке; минимум — при обратной. Когда использовать: доказать, что некое произведение-сумма максимально/минимально.

• Неравенство Минковского: $\sqrt{\sum(a_i+b_i)^2} \leq \sqrt{\sum a_i^2}+\sqrt{\sum b_i^2}$ (неравенство треугольника для норм$). *$Когда использовать:* суммы корней из квадратов.

• Применить Энгель-форму КБШ. Если видишь $\sum a_i/b_i$ или $\sum a_i^2/b_i$, перепиши в форму $\frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$ и оцени.

• Выбрать правильные «векторы» для КБШ. КБШ звучит как $|\vec{u}\cdot\vec{v}| \leq |\vec{u}||\vec{v}|$. Думай: что является $\vec{u}$ и $\vec{v}$? Часто $a_i = \sqrt{b_i}$ и $b_i = \frac{c_i}{\sqrt{b_i}}$.

• Упорядочить переменные и применить Чебышёва. Если нужно доказать $n\sum a_ib_i \geq (\sum a_i)(\sum b_i)$, убедись, что обе последовательности одинаково упорядочены.

• Написать равенство в КБШ и решить. Условие равенства $a_1/b_1=a_2/b_2=\cdots$ часто сразу даёт ответ на вопрос «при каких значениях достигается экстремум».

• Использовать нормировку. Если $\sum b_i=1$, то Энгель-форма КБШ даёт $\sum a_i^2/b_i \geq (\sum a_i)^2$.

• Комбинировать с AM-GM. КБШ для верхней оценки, AM-GM для нижней — часто работают вместе.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Докажите, что $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z} \geq \ldots$»
- «Докажите, что $(\sum a_ib_i)^2 \leq \ldots$»
- «Для упорядоченных последовательностей $a_1 \geq \cdots \geq a_n$ докажите...»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Сумма дробей вида $\frac{a^2}{b}$ или $\frac{x}{y+z}$ (дроби с суммой в знаменателе).
- Произведение двух сумм, которое надо оценить через квадрат.
- Два «параллельных» набора чисел (упорядоченных или нет).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Оценить снизу сумму дробей с квадратами в числителе.
- Доказать неравенство между суммами произведений двух наборов.
- Найти экстремум суммы при заданных ограничениях.

Задача 1. Для положительных $a, b, c$ докажите: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geq a+b+c$.

Источник: тренировочная (классическое применение КБШ-Энгель).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу дроби $\frac{a^2}{b}$ — это сигнал Энгель-формы КБШ.
2. Применю: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a} = a+b+c$.
3. Готово! Это буквально одна строка.

Решение:

По неравенству КБШ в форме Энгеля:$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a} = a+b+c.$$

Равенство при $a/b = b/c = c/a$, то есть при $a=b=c$.

Ответ: доказано, равенство при $a=b=c$.

Что в этой задаче было главным: распознать форму $\sum a_i^2/b_i$ и немедленно применить Энгель — решение в одну строку.

Задача 2. Для положительных $x, y, z$ с $x+y+z=1$ докажите: $\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}+\dfrac{z}{1-z} \geq \dfrac{1}{2}$.

Источник: тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Дроби $\frac{x}{1-x}$. Знаменатель $1-x = y+z$ (из условия $x+y+z=1$). Запишу в виде $\frac{x}{y+z}$.
2. Сумма: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$. Применю Энгель: числители — $\sqrt{x}$, знаменатели — нужно подобрать. Или попробую Неравенство Нэсбитта: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$.
3. Но $\frac{3}{2} > \frac{1}{2}$, значит достаточно доказать Нэсбитта!

Решение:

Так как $x+y+z=1$, имеем $1-x=y+z$, поэтому:$$\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}+\frac{z}{1-z} = \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}.$$

Доказываем неравенство Нэсбитта $\geq \frac{3}{2}$ (что сильнее нужного $\geq \frac{1}{2}$).

По Энгель-форме КБШ:$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} = \frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(x+z)}+\frac{z^2}{z(x+y)} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}.$$

Знаменатель: $x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+xz)$.

По AM-GM: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) \geq 3(xy+yz+xz)$.

Поэтому: $\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}+\dfrac{z}{1-z} \geq \dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}$.

Что в этой задаче было главным: перезапись знаменателей через условие $x+y+z=1$ открыла применение Нэсбитта и Энгель-формы КБШ.

• Ошибка: применить КБШ в неправильном направлении. КБШ даёт верхнюю оценку для $(\sum a_ib_i)^2$ или нижнюю для $\sum a_i^2/b_i$. Не путай направление неравенства. → Перед применением проверяй: «что я оцениваю снизу или сверху?»

• Ошибка: в Энгель-форме перепутать числители и знаменатели. $\sum a_i^2/b_i \geq (\sum a_i)^2/\sum b_i$ — в числителе стоит квадрат, в знаменателе — не квадрат. → Явно проверяй форму перед применением.

• Ошибка: применить Чебышёва к неупорядоченным последовательностям. Неравенство Чебышёва требует одинаковой упорядоченности $a_i$ и $b_i$. → Всегда проверяй, что обе последовательности отсортированы одинаково (или обе убывают).

• Ошибка: забыть проверить условие равенства. В задачах на нахождение экстремума нужно не только доказать неравенство, но и показать, что оно достигается. → Всегда пиши «равенство при ..."

• Ошибка: применить Энгель, когда знаменатели не подходят. Форма $\sum x_i/(a_i+b_i)$ — это не $\sum a_i^2/b_i$. Нужно преобразовать. → Попробуй множитель в числителе и знаменателе.