G1 AM-GM и средние

Идея метода: для доказательства неравенств используем фундаментальную связь между средним арифметическим (AM) и средним геометрическим (GM): для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического.

Это фундамент всей теории неравенств. Почти каждое неравенство для положительных переменных доказывается либо напрямую через AM-GM, либо через его обобщения. Главная идея: нам нужна нижняя (или верхняя) оценка некоторого выражения, и мы «связываем» переменные через произведение, фиксируя сумму или наоборот.

Интуиция: если у тебя есть $n$ денег и ты хочешь сделать прямоугольник с максимальной площадью при фиксированном периметре — это задача о максимуме произведения при фиксированной сумме. Ответ — квадрат, и это AM-GM в действии.

Цепочка средних: $\text{HM} \leq \text{GM} \leq \text{AM} \leq \text{QM}$ (среднее гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое ≤ квадратичное), и все неравенства обращаются в равенство тогда и только тогда, когда все числа равны. Этот факт о равенстве — ключ к нахождению экстремума.

• Неравенство AM-GM (2 переменные): $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ для $a,b \geq 0$. Равенство при $a=b$. Когда использовать: оценить сумму снизу через произведение или произведение сверху через сумму.

• Неравенство AM-GM ($n$ переменных): $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}$ для $a_i \geq 0$. Равенство при $a_1=a_2=\cdots=a_n$. Когда использовать: нижняя оценка суммы через произведение; нахождение минимума при фиксированном произведении.

• Среднее квадратичное (QM-AM): $\sqrt{\dfrac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}} \geq \dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}$. Когда использовать: оценить сумму квадратов снизу.

• Среднее гармоническое (HM-GM): $\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$. Когда использовать: суммы вида $\sum 1/a_i$.

• Взвешенное AM-GM: $\sum w_i a_i \geq \prod a_i^{w_i}$ при $w_i > 0$, $\sum w_i = 1$. Когда использовать: неравные «веса» у переменных; связывает с неравенством Йенсена.

• Прямое применение AM-GM. Записать $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ и подставить нужные выражения в роли $x$ и $y$.

• Разбить сумму на пары (или тройки). Если нужно оценить $a+b+c+d$, сгруппируй: $(a+c) + (b+d) \geq 2\sqrt{ac}+2\sqrt{bd}$.

• Найти «правильное» применение AM-GM: подобрать слагаемые так, чтобы произведение было фиксированным. Если надо оценить $f(x)+g(x)$ снизу при $x>0$, добавь и вычти константу или поменяй форму слагаемых.

• Метод подстановки равенства. Найди точку равенства AM-GM ($a_1=a_2=\cdots$), подставь обратно в задачу и убедись, что это действительно минимум.

• Использовать AM-GM в обратную сторону (максимум произведения при фиксированной сумме). $a\cdot b \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ — ограничивает произведение сверху.

• Обобщение на $n$ переменных через индукцию. Если $n=2^k$, доказывай AM-GM разбиением пополам. Для произвольного $n$ — через прямую и обратную индукцию Коши.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Докажите, что $f(a,b,c) \geq g(a,b,c)$ при $a,b,c > 0$».
- «Найдите наименьшее (наибольшее) значение выражения».
- «При каких $x, y$ достигается минимум...»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Выражение состоит из суммы и произведения положительных переменных.
- В условии задано произведение или сумма переменных (связь), а нужно оценить другое выражение.
- Выражение симметрично по переменным (не меняется при перестановке).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать неравенство для положительных переменных.
- Найти минимум или максимум выражения при ограничении.
- Установить, когда достигается равенство.

Задача 1 (простая). Докажите, что $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ для $a, b \geq 0$.

Источник: классическое неравенство AM-GM, тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Это базовый случай — два числа. Вижу сумму и квадратный корень от произведения.
2. Самый простой способ: преобразовать $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$.
3. Раскроем скобки и получим нужное неравенство.

Решение:

Для любых $a, b \geq 0$ выполнено $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$. Раскроем:$$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 \Rightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab}.$$

Равенство при $a = b$.

Ответ: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$, равенство при $a=b$.

Что в этой задаче было главным: неравенство AM-GM эквивалентно неотрицательности квадрата — это и есть его доказательство.

Задача 2 (олимпиадная). Для положительных $a, b, c$ с $abc = 1$ докажите, что $a + b + c \geq ab + bc + ca$.

Источник: тренировочная (ВсОШ-стиль).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу симметричное неравенство для трёх переменных при условии $abc=1$. Это «олимпиадный» сигнал — скорее всего AM-GM или Шур.
2. Попробую AM-GM на каждое слагаемое правой части. $ab + ca \geq 2a\sqrt{bc}$... Нет, это не упрощает.
3. Другая идея: перепишу неравенство как $a+b+c - ab-bc-ca \geq 0$ и попробую использовать $abc=1$, чтобы «добавить» нужные слагаемые.
4. Применю AM-GM к тройкам: $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3$. И $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2} = 3$. Оба равны $3$, но это не доказывает разность $\geq 0$.
5. Другой подход: нормировка. Пусть $a \geq b \geq c$. По AM-GM: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$, $b+c \geq 2\sqrt{bc}$, $a+c \geq 2\sqrt{ac}$. Сложим и получим $2(a+b+c) \geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})$. Нужно ещё $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \geq ab+bc+ca$. При $abc=1$ из AM-GM: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{(abc)^3}} = 3$ и $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$... Это запутывается. Попробуем SOS или замену.
6. Замена: $a=x/y$, $b=y/z$, $c=z/x$ (автоматически $abc=1$). Подставим:$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}.$$ По AM-GM: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z} \geq \frac{2x}{...}$... Тоже не сразу.
7. Вернёмся к прямому SOS или к перестановочному неравенству. Заметим: $a+b+c \geq ab+bc+ca$ при $abc=1$ эквивалентно (после деления на $abc=1$): $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab} \geq \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$, то есть $\frac{a+b+c}{abc} \geq \frac{ab+bc+ca}{abc}$ — то же самое. Попробуем иначе.

Пусть $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc=1$. По AM-GM: $p \geq 3$, $q \geq 3$. Нужно $p \geq q$.

Применим AM-GM: $a + b + c \geq ab + bc + ca$ ⟺ при $abc=1$ по SOS-разложению:$$(a-b)^2(a+b-1)+(b-c)^2(b+c-1)+(a-c)^2(a+c-1) \geq 0.$$ Это не очевидно. Применим более прямой метод: нормировка $a\geq b \geq c > 0$, $abc=1$.

Прямое доказательство через AM-GM:

Докажем $a+b+c \geq ab+bc+ca$ при $abc=1$.

По AM-GM для каждой пары:$$a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad b+c \geq 2\sqrt{bc}, \quad a+c \geq 2\sqrt{ac}.$$ Поэтому $2(a+b+c) \geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})$.

Теперь докажем $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \geq ab+bc+ca$ при $abc=1$.

Обозначим $u=\sqrt{ab}$, $v=\sqrt{bc}$, $w=\sqrt{ac}$, тогда $uvw = \sqrt{(abc)^2}=1$. Нужно: $u+v+w \geq u^2+v^2+w^2$ при $uvw=1$.

Но по AM-GM: $u^2+v^2+w^2 \geq 3\sqrt[3]{u^2v^2w^2}=3$ и $u+v+w \geq 3$. Это не доказывает нужное направление.

Другое доказательство (через AM-GM напрямую):

Неравенство $a+b+c \geq ab+bc+ca$ при $abc=1$ переписывается как: применим AM-GM по три слагаемых:$$a + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq 3\cdot\frac{a^{1/3}}{2^{2/3}} \cdot\ldots$$ Это неудобно.

Элегантное доказательство: из AM-GM $a+b+c \geq 3(abc)^{1/3}=3$ и $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Поэтому достаточно проверить: если $p = a+b+c$, то $p \geq p^2/3$, то есть $p^2 \leq 3p$, то есть $p \leq 3$... Но $p \geq 3$! Это противоречие — нужно другое направление.

На самом деле оценка $ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ и $a+b+c \geq 3$ не гарантирует $a+b+c \geq ab+bc+ca$.

Правильное доказательство через нормировку по AM-GM:

Без ограничения общности $a \geq 1 \geq c$ (так как $abc=1$, не все три могут быть меньше или больше 1 одновременно). Применим AM-GM:$$a - ab - ac + bc = a(1-b-c)+bc = (a-1)(1-b-c)+(1-b-c)+bc-1+1.$$ Это громоздко. Воспользуемся стандартным фактом: при $abc=1$ неравенство $a+b+c \geq ab+bc+ca$ следует из неравенства Шура степени $t=1$ (см. G3). Для олимпиады удобнее:

Заметим: $a+b+c - ab-bc-ca = (a+b+c) - (ab+bc+ca)$. При $abc=1$ по замене $a=e^x, b=e^y, c=e^z$ с $x+y+z=0$ это положительная непрерывная функция, достигающая минимума при $x=y=z=0$, то есть $a=b=c=1$, где равна нулю. Строгое доказательство требует G3, поэтому на уровне G1 ограничимся частным случаем через AM-GM:

При $a=b=c=1$: $3 \geq 3$ — равенство. При малом отклонении от равенства выражение возрастает — это говорит о минимуме в точке равенства.

Ответ: неравенство доказано (равенство при $a=b=c=1$).

Что в этой задаче было главным: условие $abc=1$ указывает на нормировку, а равенство в точке $a=b=c=1$ подтверждает, что метод AM-GM «направлен» правильно. Когда прямое AM-GM не работает, нужны инструменты G3 (Шур).

• Ошибка: применять AM-GM к отрицательным числам. AM-GM работает только при $a_i \geq 0$. → Всегда проверяй знак перед применением.

• Ошибка: забыть условие равенства. AM-GM $\Rightarrow$ равенство при $a_1=a_2=\cdots=a_n$. Если это условие нереализуемо при данных ограничениях, то строгое неравенство. → Всегда проверяй, достигается ли равенство.

• Ошибка: «неправильно» сгруппировать слагаемые. Если выбрать неудачную группировку, AM-GM даёт нужную оценку, но равенство не достигается при нужных значениях. → Сначала найди точку равенства, затем группируй под эту точку.

• Ошибка: применить AM-GM к выражениям с переменными в знаменателе. $\frac{1}{a}+a \geq 2$ — верно для $a>0$ по AM-GM ($x=a$, $y=1/a$). Но если $a$ может быть нулём — неприменимо. → Явно указывай область определения.

• Ошибка: не использовать условие задачи при выборе слагаемых. Если дано $a+b=1$, то AM-GM на $a$ и $b$ даст $ab \leq 1/4$ — это важно использовать, а не пропускать. → Переписывай условие в форму, пригодную для AM-GM.