F9a Координаты на плоскости

Идея метода: это конкретизация общего координатного метода (F9) для задач на плоскости. Здесь мы работаем с конкретными инструментами: уравнениями прямых и окружностей, формулой расстояния, формулами пересечения, условиями параллельности и перпендикулярности.

Особенность координат на плоскости в сравнении с пространством: здесь всё сводится к двум переменным $(x, y)$, системы уравнений небольшие (2 уравнения, 2 неизвестных), и часто задачу удаётся решить «чисто механически» — без синтетической идеи.

Ключевые ситуации применения координат именно на плоскости:
- Задача содержит конкретную геометрическую фигуру (прямоугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник) с числовыми данными.
- Нужно найти геометрическое место точек — это уравнение в координатах.
- Задача про хорды, касательные к конике (параболе, эллипсу) — это алгебра.
- Нужно доказать, что точка лежит на прямой или окружности — подстановка в уравнение.

В отличие от векторного метода (F7), координаты всегда дают конкретные числа, что особенно ценно при вычислительных задачах.

• Уравнение прямой через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, или $(y_2-y_1)(x-x_1) - (x_2-x_1)(y-y_1) = 0$. Применение: находить уравнение медианы, высоты, биссектрисы.

• Расстояние от точки до прямой: для прямой $ax+by+c=0$ и точки $(x_0,y_0)$: $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Применение: длины высот, расстояния до сторон.

• Серединный перпендикуляр отрезка $AB$: проходит через середину $M = \frac{A+B}{2}$ и перпендикулярен $AB$ (наклон $-1/k$, если $AB$ имеет наклон $k$$). *$Применение:* нахождение центра описанной окружности.

• Условие, что три точки коллинеарны: $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$, то есть $x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) = 0$.

• Теорема о геометрическом месте точек: множество точек, равноудалённых от двух точек $A$ и $B$ — серединный перпендикуляр $AB$. Множество точек, равноудалённых от двух прямых — биссектриса угла между ними.

• Совместить вершину прямого угла с началом координат: для прямоугольного треугольника — $A=(0,0)$, $B=(c,0)$, $C=(0,b)$. Все вычисления упрощаются.

• Для равнобедренного треугольника расположить ось симметрии вертикально: $A=(-a,0)$, $B=(a,0)$, $C=(0,h)$. Это обнуляет многие $x$-координаты.

• Находить уравнение высоты: высота из $C$ на $AB$ перпендикулярна $AB$. Если наклон $AB$ равен $k$, то наклон высоты $= -1/k$; используй точку $C$ для уравнения прямой.

• Находить центр описанной окружности: он лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Пиши два серединных перпендикуляра и решай систему.

• Применять формулу площади через координаты: $S = \frac{1}{2}|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|$.

• Параметризовать точку на окружности: для окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ бери $(a+r\cos t, b+r\sin t)$ и минимизируй/максимизируй нужное выражение по $t$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии даны числовые длины сторон или координаты вершин.
- Задача содержит «геометрическое место точек».
- Нужно «доказать, что точка $P$ лежит на прямой $AB$» — при наличии координат это подстановка.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Фигура имеет оси симметрии (прямоугольник, равнобедренный треугольник) — координаты совмещают ось симметрии с координатной осью.
- Задача на вычисление (найти длину, угол, площадь) — координаты дают формулы.
- Задача содержит несколько пересечений прямых — каждое находится из системы двух уравнений.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти конкретное числовое значение (длину, угол, площадь).
- Описать геометрическое место точек уравнением.
- Доказать, что набор точек образует конкретную фигуру (прямоугольник, правильный многоугольник).

Задача 1. Центр описанной окружности треугольника

Условие: Найдите центр и радиус описанной окружности треугольника $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(0,3)$.

Источник: Тренировочная

Как думать (рассуждение ученика):
1. Центр описанной окружности — это точка, равноудалённая от всех трёх вершин. Она лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
2. Серединный перпендикуляр $AB$: середина $(2, 0)$, $AB$ горизонтален, перпендикуляр — вертикаль $x = 2$.
3. Серединный перпендикуляр $AC$: середина $(0, 1.5)$, $AC$ вертикален, перпендикуляр — горизонталь $y = 1.5$.
4. Пересечение: $(2, 1.5)$. Радиус: $|OA| = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$.

Решение:
Центр $O = (x_0, y_0)$ равноудалён от всех вершин:$$x_0^2 + y_0^2 = (x_0-4)^2 + y_0^2 \Rightarrow x_0 = 2.$$ $$x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + (y_0-3)^2 \Rightarrow y_0 = 1.5.$$ Центр $O = (2, 1.5)$. Радиус $R = \sqrt{4 + 2.25} = 2.5$.

Ответ: $O=(2; 1{,}5)$, $R=2{,}5$.

Что в этой задаче было главным: прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей — центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, что проверяется за две строки.

Задача 2. Геометрическое место точек (ВсОШ-стиль)

Условие: Найдите геометрическое место точек $P(x,y)$ на плоскости, для которых расстояние до точки $F=(1,0)$ равно расстоянию до прямой $x = -1$.

Источник: Тренировочная (стандартная задача на параболу)

Как думать (рассуждение ученика):
1. $|PF|^2 = (x-1)^2 + y^2$. Расстояние до $x = -1$: $|x - (-1)| = |x+1|$.
2. Условие: $\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |x+1|$. Возводим в квадрат: $(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$.
3. Раскрываем: $x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1$, $y^2 = 4x$. Это парабола!

Решение:
Условие $|PF| = d(P, l)$ ($F = (1,0)$, $l: x=-1$):$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2.$ Раскроем: $y^2 = 4x$ — парабола с фокусом $F=(1,0)$ и директрисой $x=-1$.

Ответ: Парабола $y^2 = 4x$.

Что в этой задаче было главным: геометрическое определение параболы через фокус и директрису — это уравнение, и координатный метод его немедленно получает.

• Ошибка: не проверять, что квадрат при возведении в квадрат не вносит лишних решений. → Почему неверно: возведение в квадрат может добавить решения. → Как избежать: подставляй найденные точки обратно в исходное (не возведённое в квадрат) уравнение.

• Ошибка: брать неудобную систему координат, из-за чего все координаты ненулевые и громоздкие. → Почему неверно: вычисления разрастаются, риск ошибки растёт. → Как избежать: трать 30 секунд на выбор системы координат — это самый важный шаг.

• Ошибка: при нахождении серединного перпендикуляра вертикального отрезка брать «наклон минус единица делить на наклон» от нулевого знаменателя. → Почему неверно: деление на ноль. → Как избежать: для вертикального отрезка серединный перпендикуляр горизонтален ($y = \text{const}$); для горизонтального — вертикален ($x = \text{const}$).

• Ошибка: считать, что уравнение прямой через две точки с одинаковой $x$-координатой — $y = kx+b$. → Почему неверно: вертикальные прямые не имеют наклона; их уравнение $x = c$. → Как избежать: всегда проверяй: $x_1 \neq x_2$? Если нет — прямая вертикальная.

• Ошибка: неверно применять формулу площади по координатам (нарушать порядок обхода вершин). → Почему неверно: формула работает только при обходе вершин в одном направлении (по или против часовой стрелки). → Как избежать: всегда обходи вершины в одном направлении (например, против часовой стрелки) и бери абсолютное значение.