F9 Координатный метод (общее)

Идея метода: координатный метод — это перевод геометрической задачи на язык алгебры. Каждой точке ставится в соответствие пара чисел $(x, y)$, каждой прямой — уравнение $ax + by + c = 0$, каждой окружности — $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. После этого геометрические условия становятся алгебраическими уравнениями, которые можно решать стандартными методами.

Когда переводить геометрию в координаты — вот главный вопрос этого метода. Координаты — это «тяжёлая артиллерия»: они всегда работают, но часто громоздко. Синтетические методы (F4, F4a, F5) элегантнее, но их нужно «угадать». Переходи к координатам, когда:
1. Задача содержит конкретные числовые значения (длины, углы) — координаты дают конкретные уравнения.
2. Синтетическое решение не находится за 5-10 минут.
3. Нужно вычислить длину, площадь, угол — это алгебраические операции.
4. Задача про параболу, эллипс, гиперболу — они заданы уравнениями.

Координатный метод — не «сдача» перед задачей, а сознательный выбор инструмента. Профессиональный решатель применяет его быстро и не стесняется.

• Расстояние между точками: $|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. Применение: все задачи на длины.

• Уравнение прямой: $ax + by + c = 0$ или $y = kx + b$. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$: $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Применение: нахождение высот, расстояний от точки до прямой.

• Уравнение окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, центр $(a,b)$, радиус $r$. Применение: задачи с вписанными/описанными окружностями — находишь центр как пересечение биссектрис или серединных перпендикуляров.

• Условие параллельности и перпендикулярности прямых: прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны при $k_1 = k_2$, перпендикулярны при $k_1 k_2 = -1$. Применение: поиск уравнений высот и медиан.

• Площадь треугольника по координатам: $S = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$. Применение: вычисление площадей без нахождения высот.

• Выбирать удобную систему координат: помести одну из ключевых точек в начало координат, одну из ключевых прямых — в ось $Ox$. Это минимизирует число ненулевых координат.

• Параметризовать точку на прямой или окружности: точка на прямой $y = kx + b$ — это $(t, kt + b)$; точка на окружности радиуса $r$ — $(a + r\cos\varphi, b + r\sin\varphi)$.

• Находить пересечение прямых через систему уравнений: записать уравнения двух прямых и решить систему — это даёт точку пересечения.

• Доказывать коллинеарность: три точки $A$, $B$, $C$ коллинеарны $\Leftrightarrow$ площадь $\triangle ABC = 0$ $\Leftrightarrow$ определитель $\begin{vmatrix} x_B-x_A & y_B-y_A \\ x_C-x_A & y_C-y_A \end{vmatrix} = 0$.

• Находить уравнение серединного перпендикуляра: середина $AB$ — точка $M$, направление серединного перпендикуляра — $\vec{AB}$; из этого пишешь уравнение прямой через $M$, перпендикулярной $AB$.

• Применять формулу площади для задач на отношения: $S_{\triangle PAB} / S_{\triangle QAB} = PH / QH$, где $PH$ и $QH$ — высоты из $P$ и $Q$ на $AB$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии даны конкретные числовые координаты точек или длины сторон.
- Задача про параболу, эллипс, гиперболу или другую кривую, заданную уравнением.
- В условии есть «решётчатые точки» (целочисленные координаты) или «вектор $(a, b)$».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Задача содержит прямоугольный треугольник или прямоугольник — удобно брать вершины прямого угла в начало координат.
- Есть конкретная ось симметрии (горизонтальная или вертикальная) — совмести с осью координат.
- Синтетический подход не очевиден за 5 минут — переходи к координатам.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти координаты конкретной точки (пересечение прямых, центр окружности).
- Доказать, что точка лежит на данной прямой или окружности (подстановка).
- Найти длину отрезка, площадь фигуры, угол — через конкретные числа.

Задача 1. Когда координаты правильнее синтетики

Условие: В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 3$, $BC = 4$ проведены диагонали $AC$ и $BD$. Найдите расстояние от центра прямоугольника $O$ до прямой $AB$.

Источник: Тренировочная

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу прямоугольник с конкретными числами. Координатный метод здесь очевиден и быстрее любой синтетики.
2. Помещаю $A = (0,0)$, $B = (3,0)$, $C = (3,4)$, $D = (0,4)$. Центр $O = (1.5, 2)$.
3. Прямая $AB$ — это ось $Ox$ ($y = 0$). Расстояние от $(1.5, 2)$ до $y = 0$ равно $2$.

Решение:
Введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(3,0)$, $C=(3,4)$, $D=(0,4)$. Центр: $O = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$. Прямая $AB$: $y=0$. Расстояние: $2$.

Ответ: $2$.

Что в этой задаче было главным: правильный выбор системы координат (прямоугольник параллельно осям) делает решение тривиальным.

Задача 2. Координаты для доказательства коллинеарности

Условие: В треугольнике $ABC$ ($A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(1,3)$) проведены медианы. Докажите, что они пересекаются в точке $G = \left(\frac{5}{3}, 1\right)$.

Источник: Тренировочная

Как думать (рассуждение ученика):
1. Нужно найти точку пересечения медиан. Медиана из $A$ идёт в середину $BC$: $M_A = \frac{B+C}{2} = (2.5, 1.5)$. Прямая $AM_A$: проходит через $(0,0)$ и $(2.5, 1.5)$, уравнение $y = 0.6x$.
2. Медиана из $B=(4,0)$ в $M_B = \frac{A+C}{2} = (0.5, 1.5)$. Уравнение прямой: направление $(0.5-4, 1.5-0) = (-3.5, 1.5)$, $y - 0 = \frac{1.5}{-3.5}(x - 4) = -\frac{3}{7}(x-4)$.
3. Пересечение: $0.6x = -\frac{3}{7}(x-4)$. $4.2x = -3x + 12$, $7.2x = 12$, $x = 5/3$, $y = 0.6 \cdot 5/3 = 1$. Итого $G = (5/3, 1) = (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})/3$.

Решение:
Медиана из $A$ проходит через $A=(0,0)$ и $M_A=(5/2, 3/2)$: уравнение $y = \frac{3}{5}x$.
Медиана из $B=(4,0)$ проходит через $M_B=(1/2, 3/2)$: уравнение $y = -\frac{3}{7}(x-4)$.
Пересечение: $\frac{3}{5}x = -\frac{3}{7}(x-4)$, откуда $x = \frac{5}{3}$, $y = 1$. Точка $G = \left(\frac{5}{3}, 1\right) = \frac{(0,0)+(4,0)+(1,3)}{3}$.

Ответ: $G = \left(\frac{5}{3}, 1\right)$.

Что в этой задаче было главным: координаты превращают задачу в систему уравнений прямых — никакой «геометрической» идеи не нужно.

• Ошибка: выбирать неудобную систему координат (например, не совмещать ключевую прямую с осью). → Почему неверно: вычисления становятся громоздкими, растёт риск ошибки. → Как избежать: первые 30 секунд потрать на выбор системы координат — это окупится.

• Ошибка: использовать координатный метод там, где синтетическое решение занимает одну строку. → Почему неверно: потеря времени на олимпиаде. → Как избежать: если видишь вписанный угол, симметрию, подобие — сначала попробуй синтетику (30 секунд), только потом координаты.

• Ошибка: вычислительная ошибка при нахождении пересечения прямых или при раскрытии скобок. → Почему неверно: координатный метод механичен, но требует аккуратности. → Как избежать: проверяй подстановкой: вставь найденные координаты точки в оба уравнения прямых.

• Ошибка: забывать про знак при вычислении площади через детерминант (брать абсолютное значение). → Почему неверно: площадь всегда неотрицательна; детерминант может быть отрицательным. → Как избежать: всегда бери $|\det|$.

• Ошибка: параметризовать точку на окружности через $\cos/\sin$, забывая про ограничение $\varphi \in [0, 2\pi)$ при поиске экстремума. → Почему неверно: экстремум может достигаться только на части окружности. → Как избежать: явно указывай допустимый диапазон $\varphi$ и проверяй граничные точки.