F7 Векторы и скалярное произведение

Идея метода: вектор — это направленный отрезок. Язык векторов позволяет переводить геометрические утверждения в алгебрические уравнения. Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ — главный инструмент для работы с углами и перпендикулярностью.

Метод векторов особенно удобен, когда нужно: (1) доказать, что два отрезка перпендикулярны — приравняй скалярное произведение к нулю; (2) найти угол между прямыми через косинус; (3) доказать, что три точки коллинеарны — проверь, что один вектор кратен другому; (4) работать с медианами, медиатрисами, центроидом — все они выражаются как линейные комбинации векторов вершин.

Преимущество перед координатным методом: векторы позволяют не фиксировать систему координат, и выражения остаются «координатно-инвариантными» — часто это делает решение короче. Но если вычисления разрастаются — переходи к координатам (F9a).

• Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$. Перпендикулярность: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Применение: главный инструмент для доказательства перпендикулярности.

• Длина вектора через скалярное произведение: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$. Теорема косинусов: $|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$. Применение: вычисление длин и доказательство равенств.

• Центроид треугольника: $G = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$ (радиус-вектор). $G$ лежит на каждой медиане в отношении $2:1$ от вершины. Применение: задачи о медианах и центре масс.

• Проекция вектора: $\text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$. Применение: нахождение высот, перпендикуляров.

• Векторное уравнение прямой: точка $P$ на прямой $AB$: $\vec{P} = (1-t)\vec{A} + t\vec{B}$, $t \in \mathbb{R}$. Применение: параметрическое представление прямой для нахождения пересечений.

• Обозначить векторы из общей точки: выбери одну вершину (обычно $A$ или $O$) как начало, обозначь $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, выражай все остальные точки через $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

• Доказать перпендикулярность через $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$: выражай оба вектора через базисные, раскрывай скалярное произведение по билинейности.

• Использовать скалярное произведение для нахождения угла: $\cos\angle AOB = \frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}$.

• Доказать коллинеарность: $\vec{AB} = k\vec{CD}$ для некоторого $k$ — тогда $AB \parallel CD$, и если ещё есть общая точка, то $A$, $B$, $C$, $D$ коллинеарны.

• Вычислить медиану или биссектрису через вектора: медиана из $A$: $\vec{AM} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}$.

• Применять тождество поляризации: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$ — для раскрытия скобок.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии есть «высота», «медиана», «перпендикуляр».
- Нужно доказать, что два отрезка перпендикулярны.
- Задача содержит «скалярное произведение» или «косинус угла между...».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- В задаче есть несколько медиан или биссектрис — их удобно параметризовать векторами.
- Условие выражается через длины и углы — это тригонометрия, которую удобно писать через скалярное произведение.
- Задача содержит конфигурацию с ортоцентром (точкой пересечения высот).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать перпендикулярность двух прямых (скалярное произведение = 0).
- Найти угол между прямыми или длину отрезка.
- Доказать, что три точки коллинеарны (один вектор — линейная комбинация другого).

Задача 1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Условие: Докажите, что три высоты треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке (ортоцентр).

Источник: Классическая теорема (ВсОШ базовый курс)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Нужно доказать, что три высоты конкурентны. Попробую метод векторов: пусть $H$ — точка пересечения высот из $A$ и $B$. Докажу, что $CH \perp AB$.
2. Обозначу $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, где $O$ — некоторая точка. Если $H = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, то $\vec{AH} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$... нет, возьмём $O$ = ортоцентр и проверим.
3. Лучше: зафиксируем $O$ — произвольная точка. Пусть $H$ — точка с $\vec{OH} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ (проверю, работает ли это).
4. $\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = \vec{b} + \vec{c}$. $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$. $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b}) = |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = OC^2 - OB^2$. Это не обязательно ноль.
5. Выберу $O$ = центр описанной окружности. Тогда $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$. Тогда $\vec{AH}\cdot\vec{BC} = |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = R^2 - R^2 = 0$. Значит $AH \perp BC$!
6. Аналогично $\vec{BH}\cdot\vec{AC} = 0$ и $\vec{CH}\cdot\vec{AB} = 0$. Значит, $H = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ (при $O$ = центр описанной окружности) — ортоцентр!

Решение:
Пусть $O$ — центр описанной окружности $\triangle ABC$, $R$ — её радиус, $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$. Рассмотрим точку $H$ с $\vec{OH} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

$\vec{AH} = \vec{b}+\vec{c}$, $\vec{BC} = \vec{c}-\vec{b}$:$$\vec{AH}\cdot\vec{BC} = (\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b}) = |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = R^2 - R^2 = 0.$$ Значит $AH \perp BC$. Аналогично $BH \perp AC$ и $CH \perp AB$. Все три высоты проходят через $H$.

Ответ: $H$ — ортоцентр, $\vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$.

Что в этой задаче было главным: удачный выбор начала координат (центр описанной окружности) обнуляет скалярные произведения за счёт равенства $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$.

Задача 2. Медианы пересекаются в отношении 2:1

Условие: Докажите, что медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$, делящей каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины.

Источник: Классическая теорема

Как думать (рассуждение ученика):
1. Обозначу $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ — радиус-векторы вершин. Середина $BC$: $M_A = (\vec{B}+\vec{C})/2$. Точка на медиане $AM_A$, делящая её в отношении $2:1$: $G = \vec{A} + \frac{2}{3}(M_A - \vec{A}) = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$.
2. Аналогично для медиан $BM_B$ и $CM_C$: точка, делящая их в отношении $2:1$, также равна $(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})/3$. Значит, все три медианы проходят через одну точку $G$.

Решение:
Медиана из $A$: соединяет $A$ и $M_A = (\vec{B}+\vec{C})/2$. Точка, делящая $AM_A$ в отношении $2:1$ от $A$:$$G = \frac{1 \cdot \vec{A} + 2 \cdot M_A}{3} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}.$$ То же самое получается для медиан из $B$ и $C$ (по симметрии формулы). Все три медианы проходят через $G = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$.

Ответ: $G = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$, медианы делятся в отношении $2:1$.

Что в этой задаче было главным: симметрия формулы $G = (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})/3$ сразу показывает, что точка принадлежит всем трём медианам.

• Ошибка: путать $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ (забывать про знак). → Почему неверно: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$, а $\vec{BA} = -\vec{AB}$. → Как избежать: всегда записывай: «вектор из $X$ в $Y$ — это $\vec{Y} - \vec{X}$».

• Ошибка: раскрывать скалярное произведение суммы как $(\vec{a}+\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ (забывать перекрёстный член). → Почему неверно: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$. → Как избежать: помни, что скалярное произведение билинейно, перекрёстный член $2\vec{a}\cdot\vec{b}$ почти никогда не равен нулю.

• Ошибка: считать, что $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ означает $\vec{a} = 0$ или $\vec{b} = 0$. → Почему неверно: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ означает лишь перпендикулярность. → Как избежать: явно пиши вывод: «$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$, значит $\vec{a} \perp \vec{b}$».

• Ошибка: неверно выбирать начало координат (начало отсчёта), из-за чего формулы усложняются. → Почему неверно: при неудачном начале координат скалярные произведения не упрощаются. → Как избежать: для задач с описанной окружностью — бери её центр; для задач с медианами — бери произвольную точку и используй $G = (A+B+C)/3$.