F5 Гомотетия и спиральное подобие

Идея метода: гомотетия — это «масштабирование» плоскости из фиксированной точки (центра гомотетии). Все расстояния умножаются на одно число $k$ (коэффициент), и фигура растягивается или сжимается с сохранением формы и направления. Спиральное подобие — комбинация гомотетии и поворота: фигура масштабируется и одновременно поворачивается.

Представь, что ты фотографируешь чертёж с зумом из определённой точки: все объекты уменьшаются/увеличиваются пропорционально, прямые остаются прямыми, окружности — окружностями (с другим радиусом и центром). Гомотетия — это «зум» из точки.

Главное применение в олимпиадных задачах: когда на чертеже есть два подобных треугольника или две подобные фигуры — гомотетия, переводящая одну в другую, имеет конкретный центр, и этот центр часто является ключевой точкой задачи (точка пересечения прямых, через которые надо доказать коллинеарность).

Спиральное подобие — более общий случай. Если два треугольника подобны и ориентированы по-разному, их связывает спиральное подобие (поворот + масштаб). Центр спирального подобия — замечательная точка, через которую часто проходят нужные прямые или которая лежит на нужных окружностях.

• Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$: точка $P$ переходит в $P' = O + k(P - O)$. Прямые переходят в параллельные прямые. Окружность радиуса $r$ переходит в окружность радиуса $|k|r$. Когда применять: в задаче есть параллельные прямые и подобные фигуры с центром подобия.

• Центр гомотетии двух окружностей: для двух окружностей радиусов $r_1$ и $r_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ существуют два центра гомотетии — внешний ($k > 0$) и внутренний ($k < 0$), делящие отрезок $O_1 O_2$ в отношении $r_1 : r_2$ внешним и внутренним образом. Применение: нахождение общих касательных к двум окружностям.

• Теорема о спиральном подобии: если $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (с сохранением ориентации), то существует единственное спиральное подобие, переводящее $ABC$ в $A'B'C'$. Его центр — точка пересечения окружностей, описанных около $\triangle ABB'$ и $\triangle ACC'$ (или аналогичных).

• Следствие для коллинеарности: если гомотетия с центром $H$ переводит прямую $l_1$ в прямую $l_2$, то $H$, любая точка $l_1$ и соответствующая точка $l_2$ коллинеарны. Применение: доказательство коллинеарности трёх точек через нахождение центра гомотетии.

• Сохранение углов при гомотетии: гомотетия сохраняет все углы (конформное преобразование$). *$Следствие:* если две фигуры подобны, их соответствующие углы равны.

• Найти центр гомотетии как пересечение прямых, соединяющих соответствующие точки: если гомотетия переводит $A$ в $A'$ и $B$ в $B'$, то $AA'$ и $BB'$ пересекаются в центре гомотетии.

• Использовать центр гомотетии для доказательства коллинеарности: если нужно доказать, что точки $X$, $Y$, $Z$ коллинеарны, найди гомотетию, переводящую один объект в другой, — центр лежит на прямой $XY$, и если $Z$ тоже является центром некоторой гомотетии, получаем коллинеарность.

• Применить гомотетию к двум окружностям: найти центр гомотетии (внешний или внутренний) и использовать его как точку, из которой проведены общие касательные.

• Строить «обратную гомотетию»: если ищешь точку с нужными свойствами, примени гомотетию обратно (с коэффициентом $1/k$) к известным точкам.

• Разложить спиральное подобие на поворот + гомотетию: если два треугольника подобны, сначала поверни один до совмещения углов, затем примени гомотетию. Это помогает найти центр спирального подобия.

• Использовать теорему о трёх гомотетиях: для трёх пар подобных фигур их попарные центры гомотетии коллинеарны (обобщение теоремы Менелая).

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии есть «подобные треугольники» или «отношение сторон $AB : A'B' = k$».
- Упоминаются «параллельные прямые» и «соответствующие точки».
- В задаче есть «окружности» с разными радиусами и общие касательные.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- На чертеже видны два «одинаково устроенных» треугольника, соединённых с некоторой точкой.
- Задача содержит конфигурацию из трёх прямых, попарно параллельных (намёк на центр гомотетии).
- Есть прямые, пересекающиеся в одной точке, и подобные фигуры по разные стороны от этой точки.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать, что три прямые пересекаются в одной точке (найти их общую точку как центр гомотетии).
- Найти центр, из которого одна фигура «видна» так же, как другая.
- Доказать, что некоторая точка лежит на данной окружности (через спиральное подобие).

Задача 1. Центр гомотетии и общая касательная

Условие: Даны две окружности $\omega_1$ (радиус $r_1$, центр $O_1$) и $\omega_2$ (радиус $r_2 > r_1$, центр $O_2$). Найдите точку, из которой можно провести общую внешнюю касательную к обеим окружностям.

Источник: Классическая задача на гомотетию

Как думать (рассуждение ученика):
1. Внешняя касательная касается обеих окружностей с одной стороны. Значит, отрезки от точки $P$ (пересечения касательных) до точек касания имеют длины, пропорциональные радиусам: $PT_1 / PT_2 = r_1 / r_2$ (из подобных прямоугольных треугольников).
2. Гомотетия с центром $P$, переводящая $\omega_1$ в $\omega_2$, имеет коэффициент $k = r_2/r_1$. Центр гомотетии делит $O_1 O_2$ в отношении $r_1 : r_2$ внешним образом.
3. Значит, $P$ делит $O_1 O_2$ снаружи в отношении $r_1 : r_2$.

Решение:
Внешняя гомотетия с центром $H$ (внешний центр подобия) переводит $\omega_1$ в $\omega_2$ с коэффициентом $k = r_2/r_1$. По формуле деления: $H$ делит $O_1 O_2$ внешним образом в отношении $O_1 H : O_2 H = r_1 : r_2$:$$H = \frac{r_2 \cdot O_1 - r_1 \cdot O_2}{r_2 - r_1}.$$ Общие внешние касательные проходят через $H$.

Ответ: Точка $H$ — внешний центр подобия окружностей, делящий $O_1 O_2$ снаружи в отношении $r_1 : r_2$.

Что в этой задаче было главным: гомотетия «объясняет» природу точки пересечения касательных и даёт явную формулу для её нахождения.

Задача 2. Спиральное подобие и коллинеарность

Условие: На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ построены подобные треугольники $ABD$ и $ACE$ (с сохранением ориентации, $\angle ABD = \angle ACE$, $AB/BD = AC/CE$). Докажите, что $AD$, $BE$ и некоторая прямая, связанная с треугольником, пересекаются в одной точке.

Источник: Тренировочная (тема спирального подобия)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Два подобных треугольника $ABD \sim ACE$. Спиральное подобие переводит $\triangle ABD$ в $\triangle ACE$. Его центр $S$ — точка пересечения окружностей, описанных около $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$... или нашей конфигурации.
2. При спиральном подобии $S$: $SA/SB = AC/AB$ (из подобия), $\angle ASB = \angle ACB$. Значит $S$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$.
3. Прямые $AD$, $BE$, $CS$ конкурентны — это следует из того, что $S$ является центром спирального подобия и лежит на описанной окружности $\triangle ABC$.

Решение (схема):
Рассмотрим спиральное подобие $f$, переводящее $\triangle ABD$ в $\triangle ACE$: оно переводит $A \to A$, $B \to C$, $D \to E$. Центр этого подобия — $A$. Значит, $f$ — поворот+масштаб с центром $A$. Из подобия $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ следует $AD/AE = AB/AC$ и $\angle DAE = \angle BAC$. Это позволяет установить, что прямые $BD$, $CE$, $AD$ связаны через вершину $A$, и применить теорему Чевы для установления конкурентности.

Ответ: Прямые $AD$, $BE$, $CF$ (при соответствующем выборе $F$) пересекаются в одной точке.

Что в этой задаче было главным: спиральное подобие «собирает» разбросанные подобные треугольники и указывает на общий центр.

• Ошибка: путать внешний и внутренний центры гомотетии. → Почему неверно: внешний центр (общие внешние касательные) и внутренний (общие внутренние, $k < 0$) — разные точки. → Как избежать: внешний делит отрезок центров снаружи, внутренний — внутри; нарисуй и проверь.

• Ошибка: думать, что гомотетия всегда переводит прямую в ту же прямую. → Почему неверно: гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (если прямая не проходит через центр). → Как избежать: прямые через центр гомотетии переходят в себя; остальные — в параллельные.

• Ошибка: путать спиральное подобие с гомотетией (забывать об угле поворота). → Почему неверно: если фигуры повёрнуты относительно друг друга, чистой гомотетии нет. → Как избежать: сравни ориентацию двух подобных фигур; если повёрнуты — нужно спиральное подобие.

• Ошибка: искать центр гомотетии как пересечение только одной пары прямых. → Почему неверно: центр должен лежать на пересечении $AA'$, $BB'$, $CC'$ (всех трёх). → Как избежать: для надёжности проверяй центр по двум парам прямых.

• Ошибка: применять теорему о трёх центрах гомотетии без проверки условий (три пары окружностей или фигур). → Почему неверно: теорема работает только для корректно определённых центров. → Как избежать: убедись, что все три пары фигур подобны и их центры гомотетии корректно определены.