F4b Касательные к окружности

Идея метода: касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Главное свойство: радиус в точку касания перпендикулярен касательной. Это одно свойство порождает целый арсенал инструментов: равенство касательных из внешней точки, вписанный угол через касательную (угол между касательной и хордой равен вписанному углу на дугу), теорема о полюсе и поляре.

Метод касательных — это специализированный случай дополнительного построения для задач, где фигурируют окружности. Как только в задаче появляется окружность и точка вне неё (или другая окружность), нужно рассмотреть касательные из этой точки и применить их стандартные свойства.

Практически: всегда проводи радиус в точку касания — это создаёт прямой угол, который часто является ключевым. Отрезки двух касательных из одной внешней точки равны — это позволяет заменить неизвестные расстояния.

Область применения: задачи с вписанными/описанными окружностями многоугольников, задачи на равенство касательных отрезков, задачи о конфигурации нескольких окружностей (задача Аполлония, теорема Птолемея для касающихся окружностей).

• Радиус перпендикулярен касательной: если $l$ — касательная к окружности с центром $O$ в точке $T$, то $OT \perp l$. Применение: всегда, когда есть касательная — проведи радиус и получи прямой угол.

• Равенство касательных из внешней точки: из любой внешней точки $P$ можно провести две касательные $PT_1$ и $PT_2$, причём $PT_1 = PT_2$. Условие: $P$ вне окружности. Применение: для нахождения неизвестных длин в задачах с вписанной окружностью.

• Угол между касательной и хордой: угол между касательной $l$ в точке $T$ и хордой $TA$ равен вписанному углу $\angle TBA$, где $B$ — любая точка дуги, не содержащей дугу $TA$ с той же стороны. Формула: $\angle(l, TA) = \frac{1}{2} \overset{\frown}{TA}$. Применение: когда нужно связать угол касательной с вписанным углом.

• Свойство вписанной окружности треугольника: если $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, $s$ — полупериметр, то $S = rs$. Формулы касательных отрезков: $a_1 = s - a$, $b_1 = s - b$, $c_1 = s - c$, где $a, b, c$ — стороны, $a_1, b_1, c_1$ — отрезки касательных от вершин.

• Теорема о внешней точке и двух окружностях: если две окружности касаются внешне, их общая внешняя касательная в точке касания — перпендикуляр к прямой центров. Применение: в задачах о конфигурациях касающихся окружностей.

• Обозначить касательные отрезки через $x, y, z$: в задачах с вписанной окружностью треугольника обозначь касательные отрезки от вершин и составь уравнения из условий задачи.

• Провести радиус в точку касания и использовать прямой угол: строй вспомогательный прямоугольный треугольник, используй теорему Пифагора.

• Применить угол касательной и хорды: если в задаче есть касательная и хорда из точки касания, вычисли угол через вписанный угол на соответствующую дугу.

• Использовать метод подобия через касательную: если две хорды пересекаются, а одна из них — хорда через точку касания, используй свойства подобных треугольников (степень точки).

• Степень точки: для точки $P$ и окружности: $PT^2 = PA \cdot PB$, где $T$ — точка касания, $AB$ — хорда через $P$. Это связывает касательную с секущей.

• Строить общую касательную двух окружностей: в задачах с двумя окружностями провести общую внешнюю или внутреннюю касательную — и рассматривать подобные треугольники, образованные центрами и касательной.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии есть «касательная к окружности», «вписанная окружность», «описанная окружность».
- Упоминается «точка касания» или «касается в точке $T$».
- В задаче есть «окружность, вписанная в треугольник» или «окружность, вписанная в угол».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- На чертеже есть точка вне окружности с двумя касательными — ищи равные отрезки.
- Есть прямая, «касающаяся» двух окружностей одновременно.
- Задача содержит соотношение между длинами сторон многоугольника и радиусом вписанной окружности.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти длину касательного отрезка или радиус вписанной/описанной окружности.
- Доказать, что прямая является касательной к данной окружности.
- Доказать равенство или пропорцию, используя свойства касательных.

Задача 1. Равенство касательных из вершин

Условие: В треугольнике $ABC$ вписана окружность, касающаяся сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Докажите, что $AF = AE$, $BF = BD$, $CD = CE$ и найдите $AF$, если $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$.

Источник: Классическая теорема (входит в любой курс по геометрии окружностей)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вписанная окружность. Касательные из вершины $A$: это $AF$ (к стороне $AB$) и $AE$ (к стороне $AC$). Из точки вне окружности — касательные равны. $A$ вне окружности, значит $AF = AE$. Аналогично для $B$ и $C$.
2. Теперь $AF + BF = AB = c$, $AF = AE$, $BF = BD$, $CD = CE$. Обозначим $AF = x$, $BF = y$, $CD = z$. Тогда $x + y = c$, $y + z = a$, $z + x = b$. Складывая: $2(x+y+z) = a+b+c$, значит $x+y+z = s$ (полупериметр). Откуда $x = s - a$.

Решение:
Из вершины $A$ проведены две касательные к вписанной окружности: $AF$ и $AE$. По свойству касательных из внешней точки: $AF = AE$. Аналогично $BF = BD$, $CD = CE$.

Обозначим $AF = AE = x$, $BF = BD = y$, $CD = CE = z$. Тогда:$$x + y = c = AB, \quad y + z = a = BC, \quad z + x = b = CA.$$ Сложим все три уравнения: $2(x+y+z) = a+b+c$, откуда $x+y+z = s$. Вычитая первое уравнение: $z = s - c$; второе: $x = s - a$; третье: $y = s - b$.

Отсюда $AF = AE = s - a$, $BF = BD = s - b$, $CD = CE = s - c$.

Ответ: $AF = s - a$, где $s = (a+b+c)/2$.

Что в этой задаче было главным: стандартное обозначение касательных отрезков через переменные $x, y, z$ и система трёх линейных уравнений — это универсальный приём для вписанной окружности.

Задача 2. Угол между касательной и хордой

Условие: Прямая $l$ касается окружности в точке $T$. Хорда $TA$ образует с $l$ угол $\alpha$. Найдите угол $\angle TBA$, где $B$ — точка на большей дуге $TA$.

Источник: Тренировочная

Как думать (рассуждение ученика):
1. Угол между касательной и хордой. Знаю теорему: этот угол равен половине дуги, стягиваемой хордой. Угол $\alpha$ = половина малой дуги $TA$.
2. Вписанный угол $\angle TBA$ опирается на малую дугу $TA$, но $B$ на большой дуге. Вписанный угол = половина дуги. Но на какую? $\angle TBA$ вписан и смотрит на малую дугу $TA$, значит $\angle TBA = \frac{1}{2} \overset{\frown}{TA}_{\text{мал.}} = \alpha$.

Решение:
По теореме об угле между касательной и хордой: $\alpha = \frac{1}{2} \overset{\frown}{TA}$ (малая дуга). Вписанный угол $\angle TBA$ ($B$ на большой дуге) опирается на ту же малую дугу: $\angle TBA = \frac{1}{2} \overset{\frown}{TA} = \alpha$.

Ответ: $\angle TBA = \alpha$.

Что в этой задаче было главным: связь угла касательная–хорда с вписанным углом — это «мост» между касательными и вписанными углами.

• Ошибка: думать, что радиус не перпендикулярен касательной в нестандартных конфигурациях. → Почему неверно: свойство радиус $\perp$ касательная — абсолютное, без исключений. → Как избежать: всегда проводи радиус в точку касания и обозначай прямой угол.

• Ошибка: путать «вписанная окружность» (касается всех сторон изнутри) и «описанная окружность» (проходит через все вершины). → Почему неверно: свойства совершенно разные. → Как избежать: перечитай условие — «вписанная» значит центр внутри, «описанная» — центр может быть где угодно.

• Ошибка: неправильно определять, на какую дугу опирается угол между касательной и хордой. → Почему неверно: угол равен половине «своей» дуги (той, которая отсекается хордой со стороны острого угла). → Как избежать: нарисуй дугу, лежащую «внутри» угла — это и есть нужная дуга.

• Ошибка: забывать про касательные отрезки при решении задач с вписанной окружностью (не обозначать их переменными). → Почему неверно: задача становится неразрешимой без введения этих переменных. → Как избежать: как только видишь вписанную окружность — сразу обозначай касательные отрезки $x, y, z$.

• Ошибка: применять степень точки без проверки, что точка действительно вне (или внутри) окружности. → Почему неверно: формула $PT^2 = PA \cdot PB$ верна только для внешней точки (если $P$ между $A$ и $B$, знак меняется). → Как избежать: явно проверяй расположение точки относительно окружности.