F3 Вписанные/описанные 4-угольники

Почему метод важен

По таблице ВсОШ 9 метод F3 — третий по частоте в геометрии после F1 и F2: 17 задач как основной метод. Он встречается во всех годах подряд с 2010 по 2025 и появляется на каждом этапе, включая заключительный (2011, 2014, 2017, 2018).

Главное, что даёт F3:

• быстрое распознавание вписанного четырёхугольника по углам;
• умение «достраивать окружность» и сводить геометрическую задачу к угловой охоте;
• работу с описанной окружностью трапеции, прямоугольника, квадрата;
• мост к F2 (окружности) и F1 (треугольники).

Дополнительные теги: F3 часто встречается в комбинации с F1 (подобие), F2 (касательные), F4a (симметрия). Это значит, что классическая задача на четырёхугольник почти никогда не решается одним приёмом — нужно уметь переключаться.

Реальные ориентиры из таблицы

Предупреждение: часть условий — OCR-фрагменты, в которых потеряны индексы и формулы. В семействах ниже я даю реальный сюжет и первый ход, но не выдумываю полные доказательства, если в исходнике текст обрывается.

• Основное свойство вписанного 4-угольника. В вписанном четырёхугольнике $ABCD$ сумма противоположных углов равна $180°$: $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$. Условие: $ABCD$ — вписанный (все вершины на окружности$). *$Применять:* как только установлено, что 4-угольник вписанный.

• Признак 1: сумма углов 180°. Четыре точки лежат на одной окружности $\Leftrightarrow$ сумма противоположных углов четырёхугольника = $180°$. Применять: доказать вписанность по углам.

• Признак 2: равные вписанные углы. Четыре точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности $\Leftrightarrow$ $\angle ADB = \angle ACB$ (оба опираются на дугу $AB$, точки $C$ и $D$ по одну сторону хорды $AB$$). *$Применять:* самый частый признак в задачах! «Два угла на одну хорду с одной стороны — одна окружность».

• Признак 3: угол равен 90° и вершина на полуокружности. Если $\angle ADB = 90°$, то $D$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Применять: прямые углы → диаметр → окружность.

• Признак 4 (вписанный угол как внешний). $A,B,C,D$ — на одной окружности $\Leftrightarrow$ $\angle DAB = \angle DCB$ (внешний угол треугольника = внутренний угол против него). Используется в форме: «внешний угол вписанного четырёхугольника равен противоположному внутреннему».

• Теорема Птолемея. В вписанном четырёхугольнике $ABCD$: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$. Условие: вписанный 4-угольник. Применять: задачи на нахождение диагоналей или произведений сторон.

• Описанный 4-угольник. В 4-угольнике $ABCD$ вписана окружность $\Leftrightarrow$ $AB + CD = BC + AD$. Применять: задачи с касательными.

Как распознать F3

В условии часто есть один из сигналов:

• «четырёхугольник ABCD вписан в окружность»;
• «доказать, что точки лежат на одной окружности»;
• «трапеция, вписанная в окружность» (это равнобокая трапеция);
• «прямоугольник, ромб, квадрат» (все они вписанные или описанные с особыми условиями);
• «противоположные углы равны / в сумме \(180^\circ\)»;
• «середина дуги, диагональ, касательная к описанной окружности».

Скрытые сигналы (F3 спрятан):

• ортоцентр и середины сторон — лежат на окружности девяти точек;
• два прямых угла, смотрящих на один отрезок — лежат на окружности с этим отрезком как диаметром;
• две равных хорды или равных угла — намёк на вписанность.

Базовый алгоритм решения F3

Шаг 1. Понять, дана ли вписанность

Если вписанность сказана в условии — выписать сразу все следствия: равные вписанные углы, степень точки, противоположные углы.

Если вписанность нужно доказать — найти два равных угла, опирающихся на один отрезок.

Шаг 2. Угловая охота

Подписать все известные углы и применять:

• сумма углов треугольника \(180^\circ\);
• сумма противоположных углов вписанного — \(180^\circ\);
• угол между касательной и хордой равен вписанному, опирающемуся на ту же дугу.

Шаг 3. Доп. построение

Если ход не виден, провести:

• описанную окружность вокруг трёх точек и проверить, лежит ли четвёртая на ней;
• касательную к окружности в одной из вершин;
• диаметр через известную точку;
• параллель к стороне трапеции;
• отражение точки относительно стороны/центра.

Шаг 4. Использовать степень точки

Если есть пересечение диагоналей или продолжение сторон до общей точки, степень точки часто даёт нужное равенство длин.

Шаг 5. Проверить ответ

В геометрии F3 типичная ошибка — неверный порядок вершин на окружности. Всегда проверь, что точки выбраны на одной дуге, как ты предположил.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «четыре точки лежат на одной окружности», «докажите, что $A$, $B$, $C$, $D$ вписаны в окружность»
- «вписанный четырёхугольник», «описанный четырёхугольник»
- «прямоугольник», «трапеция» (часто — вписанные), «равнобедренная трапеция» (всегда вписана!)

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Четыре точки в задаче, про которые нет явного упоминания окружности, но углы/расстояния между ними могут подходить под признак
- В задаче несколько прямых углов или биссектрис — намёк на диаметр описанной окружности
- Условие «сумма углов» или «произведение диагоналей и сторон» (намёк на Птолемея)

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Самое важное: доказать, что четыре точки лежат на одной окружности (= четырёхугольник вписан)
- Найти угол, длину диагонали или стороны в вписанном 4-угольнике
- Доказать параллельность или перпендикулярность прямых через свойства вписанного 4-угольника

КАК РАСПОЗНАТЬ, ЧТО ЧЕТЫРЕ ТОЧКИ НА ОДНОЙ ОКРУЖНОСТИ:
1. Вычисли $\angle ADB$ и $\angle ACB$ (или любую аналогичную пару): если равны и точки по одну сторону хорды — одна окружность.
2. Вычисли $\angle A + \angle C$ (и $\angle B + \angle D$): если = 180° — вписаны.
3. Ищи прямые углы: если $\angle ADB = 90°$ — $D$ на окружности с диаметром $AB$.
4. Ищи «выноску»: если два угла при двух точках опираются на один и тот же отрезок — скорее всего, одна окружность.

Задача 1. Доказательство вписанности — классика ВсОШ

Условие: В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C$ и основание $H$ высот (ортоцентр не нужен — нам нужны $A_1, B_1, B, A$) лежат на одной окружности. Точнее: докажите, что $A$, $A_1$, $B_1$, $B$ — вписанный четырёхугольник.

Источник: классика (ВсОШ, основания высот треугольника)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу?* Высоты треугольника, основания высот $A_1$ и $B_1$. Нужно доказать, что 4 точки на одной окружности.$2. *$Триггер: «четыре точки на окружности» → ищу признак. Лучший: Признак 2 (два вписанных угла на одну хорду равны$).
3. $Какие углы?* Рассмотрю хорду $AB$. Нужно: $\angle AA_1B = \angle AB_1B$? Или ищу признак 1: $\angle A_1AB + \angle A_1B_1B = 180°$?$4. *$Проще: $\angle AA_1C = 90°$ (высота!) и $\angle AB_1C = 90°$ (высота!). Значит точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$! Это уже два прямых угла на одну хорду $AC$.

Решение:
Высота $AA_1$: $AA_1 \perp BC$, т.е. $\angle BA_1A = 90°$... нет, $A_1$ — основание высоты из $A$ на $BC$, т.е. $\angle AA_1B = 90°$.

Высота $BB_1$: $BB_1 \perp AC$, $B_1$ — на $AC$, $\angle BB_1A = 90°$.

Рассмотрим хорду $AB$. Тогда $\angle AA_1B = 90°$ (высота из $A$) и $\angle AB_1B = \angle BB_1A = 90°$ (высота из $B$).

Оба угла $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ вписаны и опираются на хорду $AB$, оба равны $90°$. По признаку 2 (или по признаку 3: обе точки $A_1$, $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$), четыре точки $A$, $A_1$, $B_1$, $B$ лежат на окружности с диаметром $AB$.

Ответ: $A$, $A_1$, $B_1$, $B$ — вписанный четырёхугольник (окружность с диаметром $AB$).

Что главное: Два прямых угла на одну хорду = обе точки на окружности с этой хордой в качестве диаметра. Это «автоматический» признак вписанности для оснований высот.

Задача 2. Теорема Птолемея — задача ВсОШ уровня

Условие: В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB = a$, $CD = c$, $a > c$) описана окружность. Найдите произведение диагоналей $AC \cdot BD$.

Источник: тренировочная (применение теоремы Птолемея)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу?* Равнобедренная трапеция, описана окружность. Нужно $AC \cdot BD$.$2. *$Триггер: вписанный четырёхугольник + произведение диагоналей → теорема Птолемея!$3. *$Равнобедренная трапеция вписана в окружность$* ($всегда!): $AB + CD = BC + AD$... нет, для равнобедренной трапеции вписанность в окружность — стандартный факт ($\angle A + \angle C = 180°$: основные углы трапеции + углы при боковых сторонах$).
4. $Применяю Птолемея:* $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$. В равнобедренной трапеции $BC = AD$ (боковые стороны), пусть $BC = AD = b$. Тогда $AC \cdot BD = ac + b^2$. Но $AC = BD$ (диагонали равнобедренной трапеции равны), значит $AC^2 = ac + b^2$.$5. *$Нахожу $b$: из трапеции, боковая сторона $b = \sqrt{h^2 + ((a-c)/2)^2}$, но $h$ не дана... Пусть считаем $AC \cdot BD = AC^2 = ab + bc$ в другой форме. Для конкретного числа нужны все данные.

Решение:
Равнобедренная трапеция $ABCD$ вписана в окружность (так как $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ — стандартный факт для равнобедренной трапеции).

По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника:$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD.$

В равнобедренной трапеции $BC = AD$ (пусть $= l$) и $AC = BD$ (диагонали равны). Обозначим $d = AC = BD$.

Тогда $d^2 = ac + l^2$, откуда $AC \cdot BD = ac + l^2$.

Если $l$ выражается через $a, c$ (например, через высоту трапеции), можно получить числовой ответ. Для иллюстрации: при $a = 5$, $c = 3$, $l = 4$: $AC \cdot BD = 15 + 16 = 31$, $d = \sqrt{31}$.

Ответ: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC^2 = ac + l^2$.

Что главное: Теорема Птолемея применяется немедленно, как только установлена вписанность 4-угольника. Важно сначала доказать вписанность, затем применить формулу.

Шпаргалка: признаки «четыре точки на одной окружности»

1. Два угла на одну хорду равны (с одной стороны): $\angle ADB = \angle ACB$ $\Rightarrow$ $A,B,C,D$ — вписаны.
2. Сумма противоположных углов 180°: $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ $\Rightarrow$ вписаны.
3. Оба угла прямые на одну хорду: $\angle ADB = \angle ACB = 90°$ $\Rightarrow$ вписаны (окружность с диаметром $AB$).
4. Внешний угол = противоположный внутренний: внешний угол при $D$ = $\angle ABC$ $\Rightarrow$ вписаны.
5. Равнобедренная трапеция — всегда вписана.

• Ошибка: забыть проверить вписанность перед применением свойств. Применять «сумма противоположных углов = 180°» к невписанному 4-угольнику — грубая ошибка. → Как избежать: всегда сначала докажи вписанность, потом используй свойства.
• Ошибка: перепутать вписанный и описанный 4-угольник. Вписанный: вершины на окружности ($\angle A + \angle C = 180°$). Описанный: стороны касаются окружности ($AB + CD = BC + AD$). → Как избежать: перед решением чётко назови: «окружность описана вокруг» или «вписана в».
• Ошибка: применять признак 2 к точкам по разные стороны хорды. $\angle ADB = \angle ACB$ даёт вписанность, только если $C$ и $D$ по одну сторону хорды $AB$. По разные стороны — это другой случай. → Как избежать: нарисуй чертёж и явно проверь расположение точек.
• Ошибка: в теореме Птолемея перепутать порядок вершин. $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ — здесь $AC$, $BD$ — диагонали, $AB$, $CD$ и $BC$, $AD$ — пары противоположных сторон. → Как избежать: запомни мнемонику: «произведение диагоналей = сумма произведений противоположных сторон».
• Ошибка: считать, что любой 4-угольник с суммой углов 360° — вписанный. Сумма углов любого 4-угольника = 360°. Признак вписанности: сумма ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ углов = 180°. → Как избежать: проверяй именно противоположные углы.
• Ошибка: забыть о равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция всегда вписана — это готовый факт. → Как избежать: если в условии «равнобедренная трапеция» — немедленно объявляй её вписанной и применяй теорию.