F2 Окружности: вписанные углы, степень точки

Почему метод важен

По таблице ВсОШ 9 метод F2 — четвёртый по частоте после E14, F1, F8, F3: 17 задач как основной. Он встречается с 2011 по 2025 год, на всех этапах вплоть до заключительного. Многие задачи помечены одновременно F2 и F1 или F3 — окружности почти всегда работают в связке с треугольниками или четырёхугольниками.

Главное, что даёт F2:

• умение работать с тремя основными типами углов: центральный, вписанный, между касательной и хордой;
• степень точки (внутренней и внешней);
• касательные из одной точки;
• задача «найти угол» через дуги.

Дополнительные теги показывают, что F2 — это связующее звено между F1, F3 и F4. Если ученик не умеет считать углы через дуги, он будет тонуть в большинстве геометрии 9 класса.

Реальные ориентиры из таблицы

Предупреждение: часть задач — OCR-фрагменты. В семействах ниже даю реальный сюжет + первый ход, не выдумывая полное решение.

• Теорема о вписанном угле. Вписанный угол $\angle APB$ (точка $P$ на окружности, хорда $AB$) равен половине центрального угла $\angle AOB$. Условие: $A$, $B$, $P$ — на одной окружности, $O$ — центр. Применять: любая задача с точками на окружности и углами.

• Следствие: все вписанные углы на одну дугу равны. Если $P$ и $Q$ — на одной дуге, то $\angle APB = \angle AQB$. Применять: доказательство сонаправленности ($\angle APB = \angle AQB$ $\Rightarrow$ $A,B,P,Q$ — на одной окружности).

• Угол, вписанный в полукруг. Если $AB$ — диаметр, то $\angle APB = 90°$ для любой точки $P$ на окружности. Применять: если видишь прямой угол — ищи диаметр.

• Степень точки (внешняя). Если из внешней точки $P$ проведены секущие, пересекающие окружность в $A,B$ и $C,D$ соответственно, то $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Применять: пропорции с четырьмя длинами на двух секущих из одной точки.

• Степень точки (внутренняя). Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются внутри окружности в точке $P$, то $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Применять: пересекающиеся хорды.

• Теорема о касательной и секущей. Если из $P$ проведены касательная $PT$ (точка касания $T$) и секущая, пересекающая в $A,B$, то $PT^2 = PA \cdot PB$. Применять: задачи с касательными и длинами.

• «Вписанные углы на одну дугу»: как только видишь несколько точек на окружности, ищи пары углов, опирающихся на одну дугу — они равны.
• Построить вспомогательную окружность: провести описанную окружность нового треугольника, чтобы использовать её свойства.
• Применить теорему о степени: если видишь две секущие или касательную из одной точки, сразу пиши $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.
• Диаметр и прямой угол: если в условии есть прямой угол, ищи диаметр; если задан диаметр, ищи прямой угол.
• Использовать вписанный угол как угол треугольника: вписанный угол $\angle APB$ — это угол треугольника $APB$; применяй теорему синусов: $AB / \sin \angle APB = 2R$.
• Антиполюсная/полярная идея: если задача про равенство углов, заменяй «равные вписанные углы» на «одна окружность».

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «точка на окружности», «вписанный угол», «дуга $AB$»
- «касательная к окружности», «секущая из точки $P$»
- «четыре точки лежат на одной окружности» (признак вписанного 4-угольника)

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Несколько точек на одной окружности и углы при них
- Точка вне окружности и две секущих/касательная
- Пересечение двух хорд внутри окружности

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать равенство или пропорцию углов/отрезков через свойства окружности
- Найти длину хорды, касательного отрезка, расстояния
- Доказать, что точка лежит на данной окружности

Задача 1. Вписанный угол и равенство углов

Условие: Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\triangle APB \sim \triangle DPC$.

Источник: классика (задача на вписанные углы, ВсОШ муниципальный)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу? Четыре точки на окружности, пересечение хорд. Триггер: вписанные углы.$2. *$Метод: все вписанные углы на одну дугу равны. Ищу равные углы в $\triangle APB$ и $\triangle DPC$.$3. *$Вертикальные: $\angle APB = \angle DPC$ (вертикальные). Это уже один угол.$4. *$Вписанные: $\angle PAB = \angle CAB$ — вписанный, опирается на дугу $BC$. $\angle PDC = \angle BDC$ — тоже на дугу $BC$. Значит $\angle PAB = \angle PDC$.$5. *$Два угла равны → подобие по УУ.

Решение:$\angle APB = \angle DPC$ (вертикальные углы).$\angle PAB = \angle PDC$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC$).

По признаку УУ: $\triangle APB \sim \triangle DPC$.

Ответ: Треугольники подобны.

Что главное: Два вписанных угла на одну дугу равны — это «автоматический» источник равных углов при работе с окружностями.

Задача 2. Степень точки

Условие: Из внешней точки $P$ проведена касательная $PT$ к окружности и секущая, проходящая через точки $A$ и $B$ ($A$ ближе к $P$). Докажите, что $PT^2 = PA \cdot PB$.

Источник: классика (основная теорема о степени точки)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу? Касательная и секущая из одной точки. Триггер: степень точки.$2. *$Метод: докажем через подобие треугольников.$3. *$Строю треугольники: $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$. Общий угол при $P$. Угол $\angle PTA$ = ? Это угол между касательной $PT$ и хордой $TA$ — по теореме об угле между касательной и хордой, $\angle PTA = \angle TBA$ (вписанный угол на дугу $AT$ с другой стороны). Угол $\angle TBA$ входит в $\triangle PBT$ как $\angle PBT$. Значит $\angle PTA = \angle PBT$.$4. *$Два равных угла$* ($при $P$ общий, $\angle PTA = \angle PBT$) → подобие $\triangle PTA \sim \triangle PBT$.

Решение:
Рассмотрим $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$:
- $\angle P$ общий;
- $\angle PTA = \angle PBT$ (угол между касательной и хордой $TA$ = вписанный угол на дугу $AT$).

По УУ: $\triangle PTA \sim \triangle PBT$. Из подобия: $\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$, откуда $PT^2 = PA \cdot PB$.

Ответ: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Что главное: Степень точки доказывается через подобие двух треугольников, возникающих из касательной и секущей. Угол между касательной и хордой = вписанный угол на ту же дугу — ключевой факт.

• Ошибка: перепутать вписанный угол и центральный. Вписанный = половина центрального. Не пиши $\angle APB = \angle AOB$, пиши $\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$. → Как избежать: всегда пиши «вписанный = половина центрального» явно.
• Ошибка: забыть, что вписанный угол на диаметр = 90°. Это частный случай, но очень важный. → Как избежать: если в задаче есть прямой угол — проверь, не является ли соответствующая хорда диаметром.
• Ошибка: применять степень точки к пересечению вне окружности без учёта знаков. Для внутренней точки $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ (знаков нет); для внешней — тоже, но ориентация другая. → Как избежать: рисуй чертёж, явно отмечай «$P$ внешняя» или «$P$ внутренняя».
• Ошибка: «все углы в окружности равны». Равны только вписанные углы, опирающиеся на ОДНУ И ТУ ЖЕ дугу. → Как избежать: проверяй, на одну ли дугу опираются угла.
• Ошибка: путать хорду и касательную в теореме о степени. $PT^2 = PA \cdot PB$ — только для касательной ($PT$) и секущей ($PA$, $PB$). → Как избежать: явно называй $T$ точкой касания, проверяй, что $PT$ касательная.