F17 Барицентрические координаты

Идея метода: барицентрические координаты — это система координат, «заточенная» под треугольник. Вместо декартовой системы с началом в произвольной точке, мы описываем любую точку плоскости через её «веса» относительно трёх вершин треугольника.

Формально: пусть $\triangle ABC$ — базовый треугольник. Любая точка $X$ на плоскости однозначно записывается как$$X = \alpha A + \beta B + \gamma C, \quad \alpha + \beta + \gamma = 1.$$ Числа $(\alpha : \beta : \gamma)$ — барицентрические координаты точки $X$ (нормированные, если $\alpha+\beta+\gamma=1$, или в однородном виде, если это условие не накладывается).

Физическая интуиция: представь, что в вершинах $A$, $B$, $C$ стоят гири массой $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. Тогда $X$ — центр масс этой системы. Если гири равны — $X$ совпадает с центроидом. Если одна гиря стоит в вершине — $X$ совпадает с той вершиной.

Почему это мощно? Задачи на конкуррентность и коллинеарность в треугольнике превращаются в алгебру: теорема Чевы и теорема Менелая — немедленные следствия из арифметики координат. Координаты всех «замечательных точек» треугольника давно известны и записаны в табличном виде. Метод особенно эффективен на олимпиадах типа Физтех, где треугольник с несколькими специальными точками — стандартная обстановка.

1. Определение барицентрических координат

$$X = \alpha A + \beta B + \gamma C, \quad \alpha + \beta + \gamma = 1.$$

Однородные координаты: $(u:v:w)$, где $\alpha = u/(u+v+w)$. Условие применимости: треугольник $ABC$ невырожден. Применять: как базовое представление любой точки.

2. Координаты замечательных точек

Условие применимости: для тупоугольного треугольника $\tan A$ или $\tan B$, $\tan C$ отрицательны. Применять: как готовые формулы для немедленной подстановки.

3. Теорема Чевы в барицентрических координатах

Чевианы через $A$, $B$, $C$ конкуррентны тогда и только тогда, когда точка их пересечения $P = (u:v:w)$ имеет $u,v,w > 0$ (то есть лежит внутри треугольника). Если $P = (u:v:w)$, то чевиана из $A$ делит $BC$ в отношении $v:w$.

Применять: для доказательства конкуррентности — найди координаты точки пересечения двух чевиан и убедись, что третья проходит через ту же точку.

4. Теорема Менелая в барицентрических координатах

Точки $D = (0:y_D:z_D)$ на $BC$, $E = (x_E:0:z_E)$ на $CA$, $F = (x_F:y_F:0)$ на $AB$ коллинеарны тогда и только тогда, когда$$\begin{vmatrix} 0 & y_D & z_D \\ x_E & 0 & z_E \\ x_F & y_F & 0 \end{vmatrix} = 0.$$

Применять: для доказательства коллинеарности трёх точек на сторонах треугольника.

5. Площадь подтреугольника

Пусть $P = (u:v:w)$ (однородные). Тогда$$\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}} = \frac{u}{u+v+w}, \quad \frac{S_{APC}}{S_{ABC}} = \frac{v}{u+v+w}, \quad \frac{S_{ABP}}{S_{ABC}} = \frac{w}{u+v+w}.$$

Применять: для нахождения координат точки, заданной отношениями площадей.

• Записать точку через вершины с неизвестными коэффициентами $u:v:w$ и использовать условие задачи. Например, если $P$ лежит на $AA_1$ ($A_1$ делит $BC$ в отношении $m:n$), то $P = (t : m(1-t) : n(1-t))$ для некоторого $t$.

• Найти координаты двух чевиан и пересечь их. Чевиана из $A$ через точку $(u:v:w)$ имеет параметрическое уравнение $A + s((u:v:w) - A)$; пересечение двух чевиан — точка с координатами, читаемыми из теоремы Чевы.

• Использовать таблицу замечательных точек «в лоб». Если задача про ортоцентр — сразу пиши $(\tan A : \tan B : \tan C)$, подставляй в условие и упрощай.

• Перейти в однородные координаты, чтобы избежать деления. Вместо нормированных $\alpha+\beta+\gamma=1$ работай с $u:v:w$ — многие вычисления становятся полиномиальными.

• Доказать конкуррентность: найти точку пересечения двух чевиан и проверить, что третья чевиана проходит через неё. Это надёжнее, чем проверять условие Чевы вручную.

• Выразить коллинеарность через определитель $3\times 3$. Три точки $P_1, P_2, P_3$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $\det[P_1, P_2, P_3] = 0$ (матрица из однородных координат).

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Задача про треугольник с несколькими «замечательными точками» (центроид, инцентр, ортоцентр, описанный центр).
- Нужно доказать, что три чевианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Нужно доказать, что три точки на сторонах треугольника коллинеарны.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Треугольник с несколькими делителями сторон; соотношения заданы в виде $BD:DC = m:n$.
- Задача сводится к вычислению отношений, которые удобно кодировать через «веса» вершин.
- В задаче фигурирует много специальных точек треугольника одновременно (например, ортоцентр и инцентр).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать конкуррентность трёх линий в треугольнике.
- Доказать коллинеарность трёх точек, связанных с треугольником.
- Найти конкретную точку (её положение / отношения), в которой пересекаются заданные прямые.

Задача 1. Конкуррентность медиан через барицентрические координаты

Условие: Докажите, что медианы треугольника $ABC$ конкуррентны.

Источник: Классика, тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Нужна конкуррентность трёх чевиан (медиан). Триггер: барицентрические координаты или теорема Чевы.
2. Медиана из $A$ идёт в середину $BC$, то есть в точку $A_1$ с координатами $(0:1:1)$.
3. Первый ход: нахожу координаты середин сторон и записываю уравнения медиан.

Решение:

Середина $BC$ = $A_1 = (0:1:1)$, середина $CA$ = $B_1 = (1:0:1)$, середина $AB$ = $C_1 = (1:1:0)$.

Медиана $AA_1$ проходит через $A = (1:0:0)$ и $A_1 = (0:1:1)$. Точка на $AA_1$: $\lambda(1:0:0) + \mu(0:1:1) = (\lambda : \mu : \mu)$.

Медиана $BB_1$ проходит через $B = (0:1:0)$ и $B_1 = (1:0:1)$. Точка на $BB_1$: $(s : t : s)$ (аналогично).

Пересечение $AA_1$ и $BB_1$: нужно $(\lambda:\mu:\mu) = (s:t:s)$, то есть $\mu = s$ и $\lambda = t$, $\mu = s$ — автоматически. Из равенства первой и третьей координаты: $\lambda = \mu$. Значит точка пересечения = $(1:1:1)$.

Медиана $CC_1$ проходит через $C = (0:0:1)$ и $C_1 = (1:1:0)$. Точка: $(r:r:(1-2r))$. При $r = 1/3$: $(1:1:1)$. $\checkmark$

Все три медианы проходят через точку $(1:1:1)$ — центроид. $\blacksquare$

Ответ: Медианы конкуррентны в центроиде $G = (1:1:1)$.

Что в этой задаче было главным: координата $(1:1:1)$ — «самая симметричная» точка барицентрической системы, это центроид. Барицентрические координаты сделали доказательство чисто алгебраическим.

Задача 2. Точка Нагеля (задача типа Физтех)

Условие: В треугольнике $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ и полупериметром $s = (a+b+c)/2$ точки касания вневписанных окружностей с противоположными сторонами обозначим $A_e$, $B_e$, $C_e$ (где $A_e$ — касание вневписанной окружности напротив $A$ со стороной $BC$). Докажите, что прямые $AA_e$, $BB_e$, $CC_e$ конкуррентны.

Источник: Тренировочная (точка Нагеля — стандартная задача олимпийского уровня).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Нужно доказать конкуррентность трёх чевиан. Триггер: теорема Чевы или барицентрические координаты.
2. Найду, как $A_e$ делит $BC$. Вневписанная окружность напротив $A$ касается стороны $BC$ на расстоянии $s - c$ от $B$ и $s - b$ от $C$ (стандартный факт).
3. Первый ход: $A_e = (0 : (s-c) : (s-b))$... Нет: $BA_e = s - c$, $CA_e = s - b$, значит $A_e = (0 : s-b : s-c)$ в однородных координатах (делит $BC$ в отношении $BA_e:A_e C = (s-c):(s-b)$, то есть по $B$ и $C$: координата $B$ пропорциональна $s-c$, координата $C$ пропорциональна $s-b$).

Решение:

По свойству касательных к вневписанной окружности напротив $A$:$BA_e = s - c, \quad CA_e = s - b.$

Значит $A_e$ делит $BC$ в отношении $BA_e : A_eC = (s-c):(s-b)$. В однородных барицентрических: $A_e = (0 : s-c : s-b)$.

Аналогично:$$B_e = (s-c : 0 : s-a), \quad C_e = (s-b : s-a : 0).$$

Проверяем теорему Чевы:$$\frac{BA_e}{A_eC} \cdot \frac{CB_e}{B_eA} \cdot \frac{AC_e}{C_eB} = \frac{s-c}{s-b} \cdot \frac{s-a}{s-c} \cdot \frac{s-b}{s-a} = 1. \quad \checkmark$$

Следовательно, $AA_e$, $BB_e$, $CC_e$ конкуррентны в точке Нагеля$$N_a = (s-a : s-b : s-c). \quad \blacksquare$$

Ответ: Прямые конкуррентны в точке Нагеля $N_a = (s-a:s-b:s-c)$.

Что в этой задаче было главным: стандартный факт о длинах касательных к вневписанной окружности сразу даёт отношения, а произведение Чевы мгновенно сокращается. Барицентрические координаты позволили записать ответ в явном виде.

• Ошибка: перепутать порядок координат (какая координата у какой вершины). → Почему неверно: точка $(u:v:w)$ имеет «вес $u$» у вершины $A$, «вес $v$» у $B$, «вес $w$» у $C$; перестановка меняет точку. → Как избежать: всегда явно фиксируй соответствие $(\alpha, \beta, \gamma) \leftrightarrow (A, B, C)$ в начале решения.

• Ошибка: применить нормированные координаты, где нужны однородные. → Почему неверно: если $\alpha+\beta+\gamma \neq 1$, нормировка теряется при сложении и перемножении. → Как избежать: используй однородные $(u:v:w)$ в вычислениях; нормировать только при необходимости получить конкретную точку.

• Ошибка: считать, что координаты инцентра $(a:b:c)$ — это и есть длины, а не соотношения. → Почему неверно: $a, b, c$ здесь — просто метки сторон, а координаты нормируются делением на $a+b+c$. → Как избежать: всегда проверяй: нормированные ли координаты? Если $(a:b:c)$ — нормируй: $\alpha = a/(a+b+c)$.

• Ошибка: забыть, что барицентрические координаты зависят от выбора треугольника $ABC$. → Почему неверно: координата $(1:1:1)$ — центроид только данного $\triangle ABC$, а не вообще. → Как избежать: явно указывай «относительно треугольника $ABC$» при записи координат.

• Ошибка: применять метод к конфигурациям вне треугольника без проверки знаков. → Почему неверно: точка вне треугольника имеет одну из координат отрицательной; это не ошибка, но игнорирование знака приводит к неверным выводам о положении точки. → Как избежать: если одна из однородных координат отрицательна — точка вне треугольника. Для конкуррентности внутри треугольника все три координаты должны быть одного знака.